Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия

Структурно модель Эрроу-Дебре весьма близка к модели Вальраса. От последней она отличается конкретизацией природы происхождения функций предложения и спроса, а также механизма образования дохода потребителя.

Для каждого производителя j введем множество , которое, в отличие от модели Вальраса, здесь будем трактовать как множество производственных планов (а не оптимальных планов), т.е. это есть множество - мерных векторов , часть компонент которых описывает затраты, а другая часть - соответствующие этим затратам выпуски товаров. Компоненты, соответствующие затратам, как и в модели Вальраса, снабжаются отрицательными знаками. Поэтому скалярное произведение показывает прибыль, полученную производителем j в результате реализации плана Отсюда оптимальный план участвующий в определении совокупного предложения (см. (4.3.4) и (4.3.10)), определяется как решение задачи:

при ограничениях (4.4.1)

Оптимальное решение этой задачи обозначим через а множество всех таких решений (множество оптимальных планов) - через Если задача (4.4.1) имеет единственное решение, то

Доход потребителя i складывается следующим образом. Вводится коэффициент , который показывает долю i-го потребителя в прибыли j-го производителя. Предполагается (как и в модели Вальраса), что прибыль каждого производителя делится между всеми потребителями полностью, т.е. для любого

.

Пользуясь коэффициентами , суммарные дивиденды , получаемые потребителем i от производственного сектора, можно представить в виде

где Поэтому общий доход потребителя i при реализации производственных планов вычисляется по формуле

Функция спроса потребителя конкретизируется следующим образом. Вводится множество допустимых векторов потребления , а предпочтение потребителя на этом множестве задается с помощью функции полезности В результате вектор-функция спроса, строится как решение задачи:

при ограничениях (4.4.2)

Оптимальное решение этой задачи обозначим через , а множество всех таких решений – через Если задача (4.4.2) имеет единственное решение, то

Таким образом, очерчены конкретные виды множеств в правых частях соотношений (4.3.3) и (4.3.4) , определяющих функции совокупных спроса и предложения:

(4.4.3)

(4.4.4)

Модель (4.3.5) , в которой функции и определены в виде (4.4.3) и (4.4.4) , называется моделью Эрроу-Дебре, если выполнены следующие требования.
У-1. Множество компактно в и содержит нулевой вектор .
У-2. Множество выпукло в .
У-3. Множество замкнуто и выпукло в и таково, что из для некоторого r , следует для всех .
У-4. Функция полезности непрерывно дифференцируема на и строго вогнута .
У-5. Функция обладает свойством ненасыщаемости .
У-6. Существует для которого

Условие У-1, с учетом непрерывности функции прибыли, обеспечивает существование решения задачи (4.4.2) . Условие У-2 допускает эффективность использования «смешанных» планов производства на уровне всего производственного сектора. Условия У-3 и У-4 имеют технический характер (определение вогнутости и ненасыщаемости функции полезности и их содержательная трактовка были приведены в разделе 2.2). Условие У-6 требует наличия у каждого потребителя «существенного» начального запаса всех товаров. Оно считается достаточно жестким, но без него (или незначительного его ослабления) нельзя доказать существование конкурентного равновесия в модели Эрроу-Дебре (см. замечание после доказательства теоремы 5.2).

Эта одна из первых теорем существования была доказана авторами рассматриваемой модели в 1954 году, спустя несколько десятилетий после создания модели Вальраса.

Пусть , а F - множественнозначное отображение, которое переводит каждую точку в некоторое подмножество множества X

Отображение F называется полунепрерывным сверху, если из соотношений где и где , следует Другими словами, для каждого открытого множества U , содержащего множество , можно найти такое число , что , как только (где - расстояние между точками и ).

Непрерывное отображение всегда полунепрерывно сверху, а обратное неверно. Чтобы полунепрерывное сверху отображение было непрерывным, нужно, чтобы оно было одновременно полунепрерывным снизу, т.е. для каждого при существовали такие , что

Отображение F называется ограниченным, если для любого множество является ограниченным, как подмножество евклидова пространства .

Лемма 5.1. Пусть P , X - выпуклые и компактные подмножества пространства , - такое множественнозначное отображение, что для любого множество есть непустой выпуклый компакт. Тогда множественнозначное отображение , такое, что

полунепрерывно сверху, если функция непрерывна и вогнута.

Пусть Линейное уравнение называется гиперплоскостью в (или -мерным линейным многообразием). Это есть обобщение понятия обычной плоскости в . Гиперплоскость делит все пространство на две части: и

Пусть . Говорят, что гиперплоскость разделяет X и Y , если для всех , а для всех . Например, если X и Y - выпуклые множества, не имеющие общих точек, то, очевидно, между ними существует разделяющая гиперплоскость.

Лемма 5.2. Пусть - выпуклое множество, не имеющее общих точек с неотрицательным ортантом . Тогда найдется вектор , у которого хотя бы одна компонента строго положительна и для всех (Рис. 4.7).

Точка называется неподвижной точкой множественнозначного отображения F, определенного на X , если

Рис. 4.7 Иллюстрация к лемме 5.2

Приведем без доказательства теорему существования неподвижной точки.

Теорема (Какутани). Пусть - компактное, выпуклое множество, а F - полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке ставит в соответствие замкнутое, выпуклое подмножество Тогда отображение F имеет неподвижную точку в X.

Доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре проведем с помощью леммы Гейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка (4.3.5). Сначала пронормируем цены, поделив все на одну и ту же величину Тогда пространство цен P превращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте :

Пронормировав таким образом цены, мы не изменяем существа дела, а переходим к другому масштабу цен. В данном случае преобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чисто технические цели.

Рис. 4.8 Иллюстрация к лемме Гейла

Лемма (Гейла). Пусть S - ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение симплекса P в , удовлетворяющее условиям:
a) есть непустое выпуклое множество для всех ;
b) для всех Тогда существуют такие и , что

Условие b) означает, что для каждого множество не имеет общих точек с неположительным ортантом Действительно, для любой точки и любого (Рис. 4.8). При этих условиях лемма Гейла утверждает о существовании такого , что

Доказательство проведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одного вектора множество не имеет общих точек с Покажем, что в этом случае существует такое сколь угодно малое положительное число (не зависящее от и ), что семейство выпуклых множеств также не касается неотрицательного ортанта (Рис. 4.9).

Рис. 4.9. Иллюстрация к доказательству леммы

Действительно, если бы это было так, то существовала бы последовательность и точки для которых при (сходящаяся последовательность найдется, так как компактны и лежат в ограниченной области пространства ). Тогда из полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения и что противоречит нашему предположению. Следовательно, семейство не пересекается с неотрицательным ортантом.

Тогда для каждого множества из этого семейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость такая, что для любого (см. лемму 5.2).

Построим множественнозначное отображение где множество состоит из всех тех векторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и множество . Так как это семейство не касается с положительным ортантом, множество непусто (см. лемму 5.2). Отображение Q полунепрерывно сверху, как и отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида и аналогичного свойства S). В силу этого свойства отображения Q , множество выпукло и замкнуто, как и симплекс P . Следовательно, отображение Q удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку . Но, согласно условию b) леммы, для этой точки справедливо неравенство при . Тогда для . Последнее противоречит неподвижности точки p₀ в . Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что и доказывает лемму.

Теорема 4.2. В модели Эрроу-Дебре существует конкурентное равновесие.

Доказательство. Обозначим для каждого

(4.4.5)

(см. (4.4.1)). Как следует из условий У-1 и У-5, множество есть непустое, компактное и выпуклое множество. Обозначим через отображение . Из непрерывности (линейности) функций и из леммы 5.1 следует, что есть ограниченное, полунепрерывное сверху отображение.

Так как , то задача (4.4.2) должна решаться при ограничении

(4.4.6)

где - оптимальное решение задачи (4.4.1). Известно, что для оптимального решения задачи (4.4.2) в (4.4.6) должно иметь место строгое равенство:

(4.4.7)

Если это неверно, то в силу условия У-5 существует для которого а по условию У-4 можно найти такое где что причем удовлетворяет ограничениям (4.4.6). Но это противоречит определению как точки максимума. Таким образом, равенство (4.4.7) действительно имеет место.

Так как по условию У-1 , то по определению максимума Отсюда и из условий У-1 - У-6 следует, что множество оптимальных решений задачи (4.4.2) при ограничениях (4.4.6) представляет собой непустой выпуклый компакт. Поэтому множество (см. (4.4.3)) также будет непустым выпуклым компактом. Из условий У-4 - У-6 и леммы 4.1 следует, что D есть полунепрерывное сверху множественнозначное отображение.

Построим отображение S для любого следующим образом:

(4.4.8)

где

Можно показать, что S есть ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение из P в и что множество непусто, выпукло и замкнуто. Суммируя обе стороны равенства (4.4.7) по , получаем

или

В обозначениях элементов множества это равенство записывается в виде

(4.4.9)

Следовательно, отображение S , порождающее для каждого множество (4.4.8), удовлетворяет всем условиям леммы Гейла. Из этой леммы следует существование таких и что . Поэтому набор векторов где образует конкурентное равновесие в модели Эрроу-Дебре. Действительно, условие (4.3.6) выполнено по построению векторов и ; условие (4.3.7) следует из неравенства условие (4.3.8) вытекает из (4.4.9) и, наконец, отображения D и S являются функциями совокупных спроса и предложения в модели Эрроу-Дебре, так как они определены посредством соотношений (4.4.3) и (4.4.4). Теорема доказана.

В связи с тем, что наиболее жестким из всех условий, определяющих модель Эрроу-Дебре, является условие У-6, рассмотрим одну возможность его ослабления.

Это условие в теореме 4.2 вместе с У-3, У-4 и леммой 4.1 обеспечивает непустоту бюджетных множеств потребителей и полунепрерывность сверху функций их спроса . Эти свойства не изменятся, если условие У-6 заменить следующими условиями: для любого вектора и Так как второе из условий не является жестким, то существование конкурентного равновесия, помимо условий У-1 - У-5, зависит от наличия положительного дохода у всех потребителей. Очевидно, что это условие слабее, чем У-6, так как положительный доход у потребителя может существовать и при отсутствии начального запаса товаров (за счет участия в прибыли производственного сектора). Последнее условие выполняется, если хотя бы одно производственное предприятие рентабельно и все потребители участвуют в прибыли производственного сектора (как минимум, не являются безработными). Это условие представляется не столь жестким и, следовательно, существование экономического равновесия - реальным. Однако здесь речь идет о моделях рынка, предполагающих выполнение не совсем реальных условий совершенной конкуренции.