Изображения синусоидальных функций времени в векторной форме

При расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими. Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию . Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону. Пусть отрезок прямой длиной I_m начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени . Когда отрезок повернется на угол α₁, проекция его . Откладывая углы α₁, α₂, ... на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой - на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Пусть даны два синусоидальных тока: и .

Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:

Представим синусоидальные токи i₁ и i₂ в виде двух радиус - векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I_1m и I_2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ₁ и φ₂ относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I_1m и I_2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I_3m. Отрезок расположен под углом φ₃ относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 6.2). Векторная диаграмма - это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.

Рис. 6.2

Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки.
Векторные диаграммы используются для качественного анализа электрических цепей, а также при решении некоторых электротехнических задач.

15. Как изменяется сопротивление в цепи синусоидального тока?

Если напряжение подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

(6.7)

Анализ выражения (6.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.
Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид

(6.8)

где и - комплексные амплитуды тока и напряжения.
Комплексному уравнению (6.8) соответствует векторная диаграмма (рис. 6.4).

Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Рис.6.4