Вероятностные характеристики технологической погрешности

Вероятностными характеристиками технологической погрешности являются:

- математическое ожидание погрешности,

- дисперсия или стандартное отклонение погрешности.

Плотность распределения технологической погрешности определять специально не нужно, поскольку погрешность средства измерений в целом в большинстве случаев, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей, можно считать распределенной нормально или почти нормально. Поэтому для определения вероятностных характеристик суммарной погрешности достаточно только математическое ожидание и дисперсию частных технологических погрешностей.

Отдельные первичные ошибки, а поэтому и частные погрешности в большинстве случаев являются независимыми случайными величинами. Поэтому математическое ожидание погрешности:

а её дисперсия:

Рассмотрим отдельные составляющие, входящие в эти выражения.

1). Скалярные первичные ошибки . В технических условиях на изготовление элементов измерительного звена размеры элементов задаются в виде номиналов с некоторыми допускаемыми отклонениями

Если есть основания считать отклонений в пределах допуска распределенными нормально с вероятностью 0,95, то

При вероятности нахождения в пределах допуска в 99,73% следует принять:

Если данных о характере распределения нет, то лучше с запасом принять равномерное распределение отклонений и тогда:

2) Квадраты скалярных первичных ошибок - или ошибки, пропорциональные квадрату некоторой случайной величины :

Пример: При измерении диаметра отверстия имеет место погрешность от несовпадения линии измерения и диаметрального сечения изделия (рис. 6).

Здесь - результат измерения диаметра при наличии смещения . Погрешность составляет:

После разложения в степенной ряд по , с учетом того, что , имеем:

При измерении расстояния между двумя параллельными плоскостями имеет место погрешность по причине отклонения линии измерения от перпендикулярности к этим плоскостям (рис.1.7). Погрешность:

В обоих случаях погрешность пропорциональна и, даже если распределенj нормально, то соответствующие погрешности будут иметь совершенно другое распределение (рис. 8).

Пользуясь вероятностными методами, можно показать, что если ошибка распределена нормально с нулевым математи­ческим ожиданием и дисперсией , то её квадрат имеет распределение с плотностью

.

Это частный случай - распределения при n=1, где - сумма n одинаково нормально распределенных величин. При этом математическое ожидание квадрата первичной ошибки

а её дисперсия

Аналогично, если первичная ошибка имеет вид , где распределено нормально с дисперсией , то

В случае измерения диаметра, номинально равного D = 10 мм при =0,1 мм, среднее значение погрешности будет составлять

а ее дисперсия

и среднее квадратическое отклонение

3). Векторные погрешности - это составляющие типа

то есть периодические ошибки, являющиеся, в основном, следствием влияния различных эксцентриситетов или погрешностей зубчатых колес и передач. В этом выражении случайны амплитудное значение и фаза

Усредненная по ансамблю реализаций средств измерения дисперсия этой погрешности составляет:

а математическое ожидание равно нулю.

Амплитудное значение погрешности можно рассматривать как некоторый обобщенный эксцентриситет, проекции которого и распределены нормально с одинаковыми дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями. В этом предположении плотность распределения амплитуд подчиняется закону Релея

где a - некоторый параметр распределения. Математическое ожидание амплитуды составляет тогда

а ее дисперсия

поэтому дисперсия периодической составляющей погрешности составляет:

Параметр распределения определяется по допустимым значениям амплитудного значения . Обычно задается только верхнее значение , соответствующее вероятности

Для вычисления зависимости этой вероятности от параметра найдем выражение для интегральной функции распределения Релея:

Из условия

получаем

Поэтому

При Р=0,95

Окончательно для дисперсии периодической погрешности имеем:

4) Нерегулярные составляющие Их можно обычно рассматривать как стационарные функции входной величины или информативного параметра входного сигнала с нулевым математическим ожиданием. Нормируется обычно зона допустимых значений соответствующих первичных ошибок , например, отклонений формы контактирующих поверхностей, Для нормального и равномерного распределений в пределах допуска дисперсии этих отклонений составляют:

соответственно.

5). Погрешности обратного хода. Можно выделить два принципиально различных вида погрешности обратного хода.

а). Погрешности типа гистерезиса; они характеризуются распределением, близким к равномерному в пределах определенной зоны (рис.1.9):

б) Погрешности типа постоянного недохода до требуемого значения выходного сигнала, например, погрешности от зазоров, влияние перекосов и т.д. Здесь возможны только два значения погрешности (рис.1.10), соответствующие возрастанию или уменьшению значения входной величины. Плотность распределения задается двум δ - импульсами. Дисперсия такой погрешности