Массовый расход. Уравнение неразрывности

Весьма важной характеристикой течения газа (пара) является массовый расход G, т.е. масса вещества, протекающего через поверхность площадью f в единицу времени. При течении газа в каналах в одномерном приближении массовый расход определится следующим образом:

(7.9)

Здесь ρ=1/v – плотность газа (пара), кг/м³; v – удельный объём, м³/кг.

Определение массового расхода (7.9) может быть записано в дифференциальной форме. Для этого сначала вычислим логарифм расхода , а затем применим операцию взятия дифференциала от каждого слагаемого. В результате получим

(7.10)

Если стенки канала непроницаемы для вещества, то, на основании закона сохранения массы, в стационарном режиме массовый расход газа (пара) через любое сечение канала будет постоянной величиной, т.е. G=const. Тогда (7.10) запишется в виде, который часто называют уравнением неразрывностиили сплошности:

(7.11)

Сопло и диффузор

Запишем I закон термодинамики при принятых выше допущениях с точки зрения неподвижного наблюдателя (7.8) и с точки зрения наблюдателя, жёстко связанного с системой:

(7.12)

Поскольку оба эти выражения описывают одну и ту же систему, из их сравнения находим

(7.13)

На основании этого выражения можно ввести два определения:

1) сопло – канал, предназначенный для ускорения потока (dw>0) за счёт уменьшения давления (dp<0);

2) диффузор – канал, предназначенный для увеличения давления (dp>0) за счёт торможения потока (dw<0).

Первый закон термодинамики в форме (7.8) легко интегрируется, так как входящие в него дифференциалы являются полными: причём этот результат справедлив как для обратимого течения, так и для необратимого. Обычно интересуются скоростью w₂потока в выходном сечении канала, для которой имеем

(7.14)

Мы будем для определённости рассматривать только сопла, в которых скорость на выходе w₂значительно превышает скорость на входе w₁, так что под корнем в (7.14) можно пренебречь вторым слагаемым, т.е. для сопел скорость истечения может рассчитываться по формуле

(7.15)

Из (7.12) следует также, что разность энтальпий при течении в адиабатических соплах равна полезной внешней работе потока, откуда

(7.16)

В случае идеального газа на основании выражения для полезной внешней работы адиабатического процесса (3.33) получаем

(7.17)

Массовый расход газа при известной скорости в выходном сечении находится на основании определения (7.9)

где удельный объём в выходном сечении находится из условия адиабатичности процесса, т.е.

(7.18)

С учётом этого выражение для массового расхода идеального газа принимает вид

(7.19)

Построим графики зависимости скорости истечения газа из сопла w₂ и массового расхода газа G от отношения давлений за соплом p₂ и перед соплом p₁, для чего введём обозначение

(7.20)

причём β может изменяться в пределах от 0 до 1, так как давление газа на выходе p₂ для сопел по определению меньше давления на входе p₁ и оба они положительны.

Для упрощения графического представления введём также безразмерные скорость истечения и массовый расход с помощью равенств

(7.21)

Тогда для безразмерных скорости истечения и расхода получаем следующие выражения:

(7.22)

Сравнение с экспериментом показывает, что формулы (7.22) для скорости и расхода (или (7.17) и (7.19) для размерных величин) справедливы в интервале значений отношения давлений β от некоторого критического β_кр до единицы, причём при массовый расход G принимает максимальное значение. В интервале же массовый расход не зависит от отношения давлений β и оказывается равным G_max, в то время как теория даёт ниспадающую до нуля ветвь при уменьшении β до нуля (на рисунке показана штриховой линией). Скорость потока в этом же интервале β может вести себя двояким образом: либо возрастать с уменьшением отношения давлений, что описывается теоретической формулой (7.17), либо оставаться постоянной и равной скорости при критическом отношении давлений β_кр. Вычислим β_кр из условия максимума массового расхода:

Отсюда, приравнивая числитель нулю при β =β_кр, получаем

(7.23)

Таким образом, критическое отношение давлений при адиабатном течении идеального газа в соплах зависит только от его показателя адиабаты, т.е. от числа атомов в молекулах, составляющих газ. Значения β_кр представим в табл.7.1, которая является расширением табл.2.1. Здесь же приведено ориентировочное значение критического отношения давлений для водяного пара вблизи верхней пограничной кривой, которое может быть использовано для практических расчётов.

Таблица 7.1

Для выяснения физического смысла расхождения теории с экспериментом в интервале значений отношения давлений , подставим β = β_кр (7.23) в выражение для скорости истечения из адиабатического сопла (7.17) :

С другой стороны, из условия адиабатичности процесса течения имеем

Отсюда находим, что скорость истечения газа при критическом отношении давлений определяется выражением

(7.24)

а это есть не что иное, как скорость звука в газах, т.е. скорость распространения малых возмущений давления, плотности и т.д. Таким образом, аномалия в поведении скорости потока в адиабатическом сопле связана с переходом от дозвукового режима течения к сверхзвуковому.