Анализ движения газа в суживающемся сопле

Чтобы выбрать форму канала для истечения газа, необходимо выявить общие закономерности его истечения. Для этого проанализируем два полученных ранее выражения:

Очевидно, для конкретного газа (определенного значения показателя адиабаты k) и заданных площади поперечного сечения канала на выходе f₂, давлении р₁ и удельном объеме на входе в канал u₁ скорость адиабатного истечения w₂ и массовый расход m зависят только от соотношения давлений b, т.е. m = f(b) и w₂ = f(b). Построим графики указанных зависимостей (рис. 2,3).

Проанализируем построенные графики. Пусть давление газа на входе в канал остается неизменным (р₁ = const), а на выходе понижается (р₂ ¹ const). В начальный момент, когда р₂ = р₁, массовый расход газа m и скорость истечения газа w₂ равны нулю, так как b = р₂/р₁ = 1. Это ситуацию легко объяснить. Так как р₂ = р₁, то к газу на входе и на выходе приложены одинаковые, но направленные в противоположные стороны усилия. В этом случае нет причин, вызывающих движение газа, поскольку только из-за разности давлений возможно движение газа в канале.

По мере уменьшения давления р₂ < р₁ величина b также уменьшается (b < 1). При этом появляется разность давлений в сечениях на входе и на выходе канала, поэтому массовый расход газа m и скорость истечения газа w₂ увеличиваются. При некотором значении перепада давления в канале b = b_кр, массовый расход газа достигает максимального значения. При дальнейшем понижении давления р₂ на выходе из канала (величина b < b_кр также понижается) массовый расход газа m по соответствующему выражению должен также понижаться. Причем, при р₂ = 0 перепад давления на канале также равен нулю b = 0 и по формуле массовый расход газа m должен быть равен нулю.

Тем не менее, случай, когда р₂ = 0, означает, что газ истекает в абсолютный вакуум, а так как р₁ > 0, то р₁ – р₂ > 0, следовательно, газ должен двигаться от входа в канал к выходу из него. Таким образом, представленное выражение для расчета массового расхода газа не совсем правильно выражает закономерности истечения газов в области b < b_кр. Эти отклонения от логических рассуждений были также обнаружены и в ходе экспериментальных исследований.

Сравнение расчетных значений расходов с реальными значениями m, полученными в опытах, показывает, что в интервале значений b от 1 до некоторого критического значения b_кр, при котором расход газа максимальный, опытные значения m совпадают с расчетными. При дальнейшем уменьшении значений b < b_кр расход газа остается постоянным, равным максимальному значению m = m_max. Реальная кривая зависимости m = f(b) показана на рис. 2 сплошной линией. Аналогично на рис. 3 сплошной линией представлена реальная кривая зависимости w₂ = f(b).

Определим значение b_кр, соответствующее максимальному массовому расходу газа m_max, из соотношения:

.

Из этого соотношения видно, что массовый расход газа зависит только от численного значения выражения, заключенного в скобки:

.

Исследование данной функции на экстремум, позволяет установить, что при функция y = f(b), а, следовательно, и функция m = f(b) достигают максимального значения.

Параметры газа, которые соответствуют максимальному расходу газа m_max, называются критическими. Таким образом, можно записать:

.

Представленная зависимость показывает, что критическое отношение давлений b_кр зависит только от показателя адиабаты k. Критический перепад давлений для различных газов показан ниже:

Подставив, выражение b_кр в формулы для определения массового расхода газа m и скорости истечения газа w₂, получим следующие соотношения:

.

Итак, можно воспользоваться следующей методикой определения m и w₂.

1. По показателю адиабаты газа, определяется b_кр по выражению:

.

2. Определяется реальный перепад давлений на сопле b = р₂/р₁.

3. Сравниваются значения b и b_кр.

4. Если b_кр £ b £ 1, то применяются зависимости:

.

5. Если b < b_кр, то в суживающемся сопле устанавливается критическая скорость истечения газа w₂ = w_кр и имеет место максимальный расход газа m = m_кр, поэтому применяются зависимости:

.

Проанализируем выражение .

Выразим величины р₁ и u₁ через критические параметры газа в выходном сечение сопла р_кр и u_кр. Из уравнения адиабаты следует, что

, но Þ

Þ , а .

Тогда .

Следовательно, .

Из курса физики известно уравнение Лапласа для определения скорости звука, которое записывается следующим образом:

.

Как видно из сравнения полученного нами выражения для w_кр с уравнением Лапласа величина w_кр равна местной скорости звука в выходном сечении сопла: w_кр = а. Почему применяется термин «местная скорость звука»? Поскольку скорость звука зависит от значений р и u, а при адиабатном течении газа его давление и удельный объем изменяются вдоль сопла, то скорость звука в газе будет различной для различных сечений сопла. Именно поэтому для обозначения скорости звука в газе при параметрах, соответствующих данному сечению сопла, применяют выражение «местная скорость звука».

Таким образом, b_кр – это такое отношение противодавления р₂ на выходе из канала к давлению р₁ на входе в канал, при котором скорость течения газа равна местной скорости звука, а расход газа максимальный.

Существенным недостатком суживающихся сопел является то, что в них нельзя получить скорость потока, превышающую местную скорость звука, так как в процессе расширения давление на выходе не может стать меньше критического р_кр. Для повышения скорости потока сверх критической w_кр, т.е. для получения сверхзвуковой скорости потока, необходимо создать соответствующие условия, о которых поговорим в следующем вопросе.