Переход через скорость звука

Каким же образом можно получить сверхзвуковую скорость в сопле? Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть зависимость профиля сопла от скорости газового потока. Эта зависимость устанавливается уравнением неразрывности:

.

Выразим в этом уравнении df/f через параметры газа. Как известно, процесс истечения газа из сопла принимается адиабатным, поэтому сначала определим отношение du/u для адиабатного процесса. Продифференцируем уравнение адиабаты:

, Þ

Þ Þ .

Выразим dw/w через параметры потока р и u, для чего используется выражение для располагаемой работы, приняв во внимание, что при истечении газа техническая работа не совершается (L_Т = 0) и z₂ = z₁:

.

Запишем это выражение в дифференциальной форме:

, Þ , Þ .

Подставим полученные соотношения в уравнение неразрывности:

, Þ (*).

Проанализируем это выражение. Истечение из канала возможно, если только давление газа по ходу потока уменьшается, т.е. всегда должно выполняться условие dp < 0.

При этом возможны два случая.

1. Выражение в скобках положительно:

.

Так как dp < 0, то правая часть в соотношении (*) будет отрицательной, поэтому и левая часть этого выражения также отрицательна, т.е. df/f < 0, что означает постоянное уменьшение площади поперечного сечения канала по ходу газового потока. Решив исходное неравенство, получим kpu > w², или . Таким образом, пришли к уже известному выводу, что в суживающемся канале нельзя получить скорость потока, превышающую местную скорость звука.

2. Выражение в скобках отрицательно:

.

Так как dp < 0, то правая часть в соотношении (*) будет положительной, поэтому и левая часть этого выражения также положительна, т.е. df/f > 0, что означает постоянное увеличение площади поперечного сечения канала по ходу газового потока. Решив исходное неравенство, получим kpu < w², или . Таким образом, в расширяющемся сопле можно получить скорость газового потока, превышающую местную скорость звука.

На основании изложенных выше выводов можно сделать следующее заключение:

- для получения скорости газового потока меньшей или равной местной скорости звука (дозвуковой скорости) сопло должно быть суживающимся;

- для получения скорости газового потока большей местной скорости звука (сверхзвуковой скорости) сопло должно быть расширяющимся.

Выясним каким должен быть профиль канала для разгона или торможения потока. Для этого введем еще одну величину число Маха, представляющую собой отношение скорости течения газа w в данном сечении канала к местной скорости звука а:

.

Если М < 1, то скорость течения меньше местной скорости звука, поток является дозвуковым. Если M > 1, то скорость газа и режим течения называются сверхзвуковыми.

Установим соотношение между скоростью потока w и площадью поперечного канала f. Из соотношения, полученного ранее, следует:

Þ .

Подставим dp в выражение (*):

.

Из уравнения Лапласа видно, что kpu = а². Тогда последнее соотношение можно записать в следующем виде:

, Þ .

Полученное выражение, позволяет установить каким должно быть сечение канала для обеспечения торможения или разгона потока в зависимости от режима движения газа. Возможны четыре варианта:

1. разгон потока (dw > 0) при дозвуковом режиме течения (М < 1);

2. торможение потока (dw < 0) при дозвуковом режиме течения (М < 1);

3. разгон потока (dw > 0) при сверхзвуковом режиме течения (М > 1);

4. торможение потока (dw < 0) при сверхзвуковом режиме течения (М > 1).

В первом случае для разгона потока, двигающегося со скоростью меньшей критической, необходимо применить суживающийся канал, т.к. при dw > 0 и М < 1, получим М² – 1 < 0 и df/f < 0. При этом давление по ходу потока уменьшается dp < 0.

Во втором случае для торможения потока, двигающегося со скоростью меньшей критической, необходимо применить расширяющийся канал, т.к. при dw < 0 и М < 1, получим М² – 1 < 0 и df/f > 0. При этом давление по ходу потока увеличивается dp > 0.

В третьем случае для разгона потока, двигающегося со сверхзвуковой скоростью, необходимо применить расширяющийся канал, т.к. при dw > 0 и М > 1, получим М² – 1 > 0 и df/f > 0. При этом давление по ходу потока уменьшается dp < 0.

В четвертом случае для торможения потока, двигающегося со сверхзвуковой скоростью, необходимо применить суживающийся канал, т.к. при dw < 0 и М > 1, получим М² – 1 > 0 и df/f < 0. При этом давление по ходу потока увеличивается dp > 0.