Элементы зонной теории твердого тела

1. Удельная электропроводность полупроводников

Свойство твердого тела и в данном случае полупроводника проводить электрический ток количественно характеризуется удельной электропроводностью , определяемой в общем виде формулой

, (1)

где 1,6·10^-19 Кл – заряд электрона; n и р – концентрации электронов и дырок соответственно; и – подвижность электронов и дырок.

Из формулы (1) следует, что для определения удельной электропроводности полупроводника необходимо найти концентрацию носителей заряда и их подвижность.

Количественная оценка концентрации носителей заряда может быть произведена на основе их распределения по энергетическим уровням.

Концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике.

Определим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника, помня, чтоконцентрация дырок = . Для этого выделим в зоне проводимости интервал значения энергии , в котором содержится энергетических уровней, и на которых располагаются электронов (рис.1 ).

(2)

Для нахождения функции представим ее в виде произведения двух вероятностных функций, известных из курса физики, умножив и разделив ее на величину :

= (3)

Первая функция в произведении отображает плотность распределения энергетических уровней в зоне проводимости и может быть выражена в виде

, (4)

где С = 8 ; m – масса электрона; - постоянная Планка. Графическое изображение функции показано на рис.2.

Вторая функция определяет вероятность занятия электроном уровня энергии при условии, что плотность энергетических уровней в зоне проводимости постоянна, и определяется статистическим законом Ферми-Дирака

, (5)

где - энергия (уровень) Ферми – энергетический уровень, вероятность заполнения которого = 0,5; - постоянная Больцмана. График, построенный в соответствии с выражением (5), показан на рис. 2 .

Рис.2

Подставив соотношения ( 4) и ( 5) в формулу (2) с учетом выражения (3), получим

(6)

Интеграл в выражении (6) в аналитическом виде не берется. Однако при выполнении условия экспоненциальный член в знаменателе подынтегрального выражения оказывается значительно больше единицы и распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Максвелла-Больцмана:

(7 )

Указанное условие, называемое иногда критерием вырождения, выполняется для большинства полупроводников, поэтому, в частности, для собственных полупроводников допустимо приближение (7), означающее, что электроны (дырки) в полупроводнике образуют “электронный” (“дырочный”) газ, подчиняющийся статистике Максвелла-Больцмана, который иногда называют невырожденным газом.

В соответствии с принятым условием из соотношения (6) получаем

= , (8)

где =2 2

Аналогично определяется концентрация дырок в валентной зоне собственного полупроводника:

=

= , (9)

где = .

Результаты графического перемножения ординат соответствующих функций подынтегральных выражений (6) и (9) показаны на рис. 2.

На рис.2 горизонтальной штриховкой обозначена область занятых уровней, а вертикальной – область свободных уровней. Заштрихованная горизонтально под кривой ( или ) в зоне проводимости площадь с занятыми уровнями определяет концентрацию электронов в полупроводнике, а заштрихованная горизонтально под кривой ( или ) в валентной зоне площадь со свободными уровнями - концентрацию дырок. Площади участков под отмеченными кривыми с максимумом равны, так как концентрации дырок и электронов в собственном полупроводнике одинаковы.

В заключение, учитывая, что , найдем произведение концентрации электронов на концентрацию дырок, определяемых формулами (6) и (9):

= = (10)

Из выражения (10) следует, что зависимость концентрации равновесных носителе заряда в собственном полупроводнике от температуры и ширины запрещенной зоны = носит экспоненциальный характер.

Концентрация носителей заряда в примесном полупроводнике. Примесный полупроводник, как отмечалось выше, характерен тем, что в нем концентрация носителей заряда одного знака преобладает над концентрацией носителей заряда другого знака.

Концентрация носителей заряда в примесном полупроводнике определяется общими выражениями (6) и (9) с учетом расположения уровня Ферми в электронном полупроводнике выше середины запрещенной зоны (выше уровня ), а в дырочном полупроводнике – ниже середины запрещенной зоны.

Выполняя операции, аналогичные проводившимся для собственного полупроводника, определим графическим путем концентрации носителей заряда в зонах полупроводника. Результат решения этой задачи для электронного и дырочного полупроводников представлен соответственно на рис.3,а,б. Основное отличие от собственного полупроводника состоит в неравенстве площадей участков под кривыми в зоне проводимости и в валентной зоне для электронного полупроводника и площади участков под кривыми в валентной зоне и в зоне проводимости дырочного полупроводника, обусловленные неравенством концентрации основных и неосновных носителей заряда.

Для примесного, как и для собственного полупроводника, справедливо соотношение , которое позволяет определить концентрацию неосновных носителей заряда при известной концетрации примесей. Полагая, что все примеси ионизированы, т.е. в электронном полупроводнике и в дырочном полупроводнике, находим

для электронного полупроводника — = ,

для дырочного полупроводника — = .

Влияние температуры и уровня концентрации примеси на концентрацию носителей заряда в примесном полупроводнике на примере электронного полупроводника иллюстрирует зависимость от температуры Т, показанная на рис. 4.

центрация не изменяется; в дальнейшем на участке 3 с повышением температуры происходит резкое увеличение концентрации носителей заряда пар электрон - дырка, вызванное ионизацией атомов собственного полупроводника. При увеличении концентрации примеси энергия активации уменьшается и кривые смещаются кверху.

2. Движение носителей заряда в полупроводнике

В полупроводнике в состоянии равновесия носители заряда под действием тепловой энергии совершают хаотическое тепловое движение. При этом они не являются свободными в полном смысле этого слова, так как перемещаясь внутри кристаллической решетки и подвергаясь периодическому воздействию электрического поля атомов или дефектов решетки, оказываются связанными при своем движении с каким-либо атомом или дефектом. В этом случае скорость носителей заряда периодически изменяется, остается постоянной лишь их средняя скорость. В идеальном кристаллическом полупроводнике носители заряда движутся равномерно и прямолинейно с постоянной тепловой скоростью v_Т. Вследствие хаотического движения носителей заряда их преимущественно направленная вдоль какой-либо пространственной координаты средняя скорость движения

v_ср.max = 0.

Движение носителей заряда в полупроводнике приобретает направленность (v_ср.max 0) в двух случаях: при возникновении в кристалле электрического поля (дрейф носителей заряда) и изменении их концентрации (диффузия носителей заряда).

Дрейф носителей заряда, подвижность. Средняя скорость направленного движения носителей заряда в кристалле (дрейфовая скорость) пропорциональна напряженности электрического поля Е и равна

= Е,

где - подвижность носителей заряда. Коэффициент численно равен дрейфовой скорости при единичной напряженности электрического поля и количественно характеризует способность носителей заряда перемещаться (дрейфовать) в электрическом поле. Он может быть определен как

= ,

где е и m– заряд и эффективная масса носителя заряда; - длина свободного пробега носителя заряда при тепловой скорости v_Т.

Подвижность носителей заряда наряду с их концентрацией, как отмечалось выше, определяет удельную электропроводность полупроводника и также, в свою очередь, зависит от температуры и концентрации примеси.

Зависимость удельной электропроводности от температуры. В качестве примера найдем зависимость от температуры удельной электропроводности электронного полупроводника. Для этого в соответствии с формулой (1) запишем

(11)

Прологарифмировав обе части этого выражения, получаем

(12)

Таким образом, зависимость от температуры можно получить, суммируя логарифмы ранее полученных функций. Графическое решение этой задачи приведено на рис.6

Диффузия носителей заряда. Вероятность столкновения друг с другом носителей заряда в полупроводнике возрастает с увеличением их концентрации. Поэтому при наличии перепада (градиента) концентрации вдоль некоторой пространственной координаты носителя заряда, совершая хаотическое тепловое движение, будут отклоняться в сторону меньших столкновений – смещаться (диффундировать) в сторону уменьшения их концентрации. С увеличением градиента концентрации интенсивность их движения в сторону меньшей концентрации возрастает.

Изменение концентрации носителей заряда в полупроводнике может быть получено, например, путем воздействия на него электромагнитного излучения определенной частоты. В результате в нем может быть создано неравновесное состояние, при котором произведение . Генерация в кристалле новых пар носителей заряда в месте воздействия электромагнитного излучения приводит к образованию неравновесных носителей заряда, называемой избыточной — . Из-за наличия градиента концентрации избыточные носители заряда будут диффундировать в сторону от места генерации. При этом в каждом единичном объеме кристалла часть носителей заряда исчезает, рекомбинируя с носителями заряда другого знака, и величина постепенно уменьшается. Концентрация избыточных носителей заряда, например, вдоль некоторой оси (рис. 7 ) в кристалле уменьшается по экспоненциальному закону

= (13)

где - диффузионная длина носителей заряда данного типа (р или n) в данном полупроводнике, определяемая расстоянием, на котором концентрация избыточных носителей заряда уменьшается в раз. Диффузионная длина носителей заряда в полупроводниках составляет 0,01 – 0,1 см.

Скорость, с которой избыточные носители заряда диффундируют вдоль оси , равна

= , (14)

где - коэффициент диффузии носителей заряда данного типа – число носителей заряда, диффундирующих за одну секунду через единичную площадку при единичном градиенте концентрации. Коэффициент для полупроводников составляет 10 – 10³ см² /с.

Связь между введенными выше подвижностью носителей заряда и коэффициентом диффузии определяется соотношением Эйнштейна

= = , (15)

где - тепловой потенциал.

Рис.7

Рис.8

Процесс перехода полупроводника к равновесному состоянию в простейшем случае описывается экспоненциальной функцией

= , (16)

где - среднее время жизни носителей заряда – время, в течение которого концентрация избыточных носителей заряда уменьшается в раз. Среднее время жизни в полупроводниках составляет порядок

10^-9 – 10^-3 с.

Величины и связаны соотношением

= (17)

3. Токи в полупроводниках

Выше отмечалось, что движение носителей заряда в полупроводниках определяется двумя причинами: наличием в полупроводнике электрического поля и градиента концентрации. Первая причина, вызывая дрейф носителей заряда, а вторая – их диффузию, приводят к протеканию в полупроводнике соответственно дрейфового тока (тока проводимости) и диффузионного тока .

Плотность тока в полупроводниках имеет четыре составляющие, обусловленные двумя видами носителей заряда – электронами и дырками.

Ток дрейфа. Плотность дрейфового тока – электронной и дырочной составляющих может быть записана в виде:

- электронного

= = = (18)

- дырочного

= = = (19 )

Ток диффузии. Плотность диффузионного тока:

- электронного

= = (20)

- дырочного

= = (21)

Плотность полного тока в полупроводнике соответственно будет:

= + + + (22)