Волны в однородных изотропных средах

Спроецируем уравнение Максвелла

и на оси декартовый системы координат. Получим систему скалярных уравнений

с

Напряженность магнитного поля можно вычислить из второго уравнения Максвелла подставив в него полученные выше составляющие вектора то есть, а . При этом

Решение для вектора электрического поля

Будут удовлетворять уравнениям Максвелла только в том случае, если

,

где - длина волны в свободном пространстве (6)

Из (6) следует что

В направлении оси волновода уравнение поля определяется множителем . Для того чтобы в этом направлении поле представляло собой незатухающую бегущую волну необходимо, чтобы было действительным числом, то есть подкоренным выражением (7) было положительным числом, а это значит, что по волноводу нельзя передавать энергию на частотах, лежащих ниже некоторой критической частоты.

,

- критическая длина волны

Критическая длина волны определяется из условий равенства нулю подкоренного выражения (7).

Для определения поля в каком волноводе в общем случае необходимо решить уравнение Максвелла или соответствующие волновые уравнения. При этом решение ищут в той системе координат, координатные поверхности которой по форме подобны внутренним поверхностям волновода. Рассмотрим электромагнитное поле частоты в бесконечно длинном прямоугольном регулярном волноводе с металлическими проводящими стенками, заполненными идеальными диэлектриком с параметром и . Задачу решаем в прямоугольной системе координат. Положим, что в рассматриевом объеме нет сторонних токов и свободных зарядов. Тогда волновое уравнение для запишется в виде , где – волновое число диэлектрика, заполняемого волновод.

Окончательным решение для электрических и магнитных полей имеют вид волны

(8)

где ;

- постоянная, зависящая от интенсивности сторонних источников.

- коэффициент распространения.

Из (8) следует, что одной угловой частоте соответствует бесконечное число полей поперечно-электрического типа. Каждый вид поля определяется собственными значениями и ƛ .Теоретически все виды полей могут возбуждаться и существовать одновременно ,однако большая часть частных полей затухает в волноводе. Чтобы в волноводе была волна определенной длины её длина должна быть меньше критической.

Критическая частота

В направлении осей x и y ,так как составляющая сдвинута по фазе относительно и . Таким образом энергия распространяется лишь вдоль волновода: в поперечном же направлении происходит лишь колебании энергии вдоль стоячей волны .

Длина волны в волноводе определяется соотношением

, где ,

где -длинна волны на частоте f в свободном пространстве .

обозначая

фазовая скорость волны в волноводе:

Если волновод заполнен воздухом , то фазовая скорость аналогична фазовой скорости волновода, образованного параллельными идеально проводящими плоскостями оказывается больше предельной скорости- скорости света в вакууме. Передача же сигнала происходит со скоростью , при этом передача сигнала оценивается групповой скоростью

Зависимость фазовой и групповой скорости определяется выражением

где ƛ-длина волны в свободном пространстве; -длина волны m и n- типа.

Колебание, которому соответствует наибольшая критическая длина волны, называется основным колебанием. Наибольшая критическая длина волны получается при наименьшем значении m и n. Однако волна существовать не может так как все составляющие напряженностей поля при m=0 и n=0 равны 0.Наименьшими значениями m и n при которых напряженности E и H отличны от нуля m=1 и n=0. Это колебание и m=0 n=1 это колебание .

Для волны составляющие напряженностей поля определяются при