Функция V называется знакоопределенной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Абсолютная устойчивость нелинейных СУ

1. Понятие абсолютной устойчивости нелинейных СУ

Пусть дифференциальные уравнения нелинейной САУ заданы в виде системы уравнений первого порядка и записаны эти уравнения для переходного процесса в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся режиме при постоянных внешних воздействиях. Эти уравнения для нелинейной системы n-го порядка будут иметь вид:

(25.1)

где – функции произвольные и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условию:

, (25.2)

поскольку в установившемся режиме все отклонения переменных и их производные равны нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Рассмотрим понятия о знакоопределенных, знакопостояных и знакопеременных функциях.

Пусть имеем функцию нескольких переменных

,

Представим себе n-мерное пространство, в котором являются прямоугольными координатами. Тогда в каждой точке этого фазового пространства функция V будет называться знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат.

Функция V называется знакоопределенной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Рассмотрим теперь функцию Ляпунова и ее производную по времени.

Любую функцию

, (25.3)

тождественно обращающуюся в нуль при , называют функцией Ляпунова, если в ней в качестве величин взяты отклонения переменных системы регулирования в переходном процессе, то есть

.

Производная от функции Ляпунова (25.3) по времени будет равна

.

Подставив сюда значения из уравнения (25.1), получим

. (25.4)

Таким образом, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама функция Ляпунова, является некоторой функцией отклонений, то есть

, (25.5)

причем согласно свойству (25.2) эта функция W, так же как и сама V, тождественно обращается в нуль при . Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять все те же понятия знакоопределенности некоторой области вокруг начала координат, о которых говорилось выше по отношению к функции V.

Учитывая сказанное выше, дадим общую формулировку теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и покажем их справедливость.

Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости нелинейных систем: если при заданных в форме (25.1) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова , чтобы ее производная по времени тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива.

При знакоопределенной функции W будет иметь место асимптотическая устойчивость.

Покажем справедливость этой теоремы на простом примере системы третьего порядка (n=3).

Уравнения (25.1) для этой системы будут иметь вид:

(25.6)

Возьмем знакоопределенную положительную функцию Ляпунова в виде

, (25.7)

где a, b, c – произвольно заданные вещественные числа.

Будем придавать величине V возрастающие постоянные значения: V=0, С₁, С₂, С₃,…, что означает:

Первое из этих выражений соответствует одной точке (началу координат фазового пространства), а остальные – поверхностям эллипсоидов в фазовом пространстве, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целиком предыдущий.

Возьмем, используя уравнение (25.5), производную от функции Ляпунова по времени, то есть

,

где функции Х₁, Х₂, Х₃взяты из (25.6).

Если полученная таким путем функция W(х₁, х₂, х₃) окажется знакоопределенной отрицательной, то есть если

(25.8)

во всех точках исследуемого фазового пространства, кроме одного только начала координат, где и х₁=х₂=х₃=0, то при любых начальных условиях изображающая точка М (рис.25.1) вследствие (25.8) будет двигаться в сторону уменьшения значения V, т.е. будет пересекать эллипсоиды извне во внутрь и в направлении к началу координат, где V=0.

Это и означает затухание всех отклонений х₁=х₂=х₃ в переходном процессе с течением времени, а это определяет устойчивость систем.

Если же функция W будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то, очевидно, траектория изображающей точки М не везде будет пересекать поверхность V=C_i, а может касаться их. В тех точках, где W

обращается в нуль (помимо начала координат), при этом необходимо выяснить – не “застрянет” ли изображающая точка там, где W=0.

2. Частотный метод исследования абсолютной устойчивости нелинейной СУ

Большие возможности для исследования устойчивости и даже качества нелинейных систем открывает предложенный в 1960 году румынским ученым В.М.Поповым критерий абсолютной устойчивости, особенно его геометрическая трактовка, позволяющая привлечь к исследованию рассматриваемого класса нелинейных систем частотные методы.

Под абсолютной устойчивостью понимают устойчивость в целом при любых начальных отклонениях для любой формы нелинейной характеристики, принадлежащей к некоторому определенному классу.

При наличии в системе одной нелинейности ее можно представить в виде структурной схемы, изображенной на рис. 25.2,а, а уравнение САУ записать:

для нелинейной части САУ

; (25.9)

для линейной части САУ

, (25.10)

где

Пусть нелинейность имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctg k ,то есть при любом х

. (25.11)

Пусть характеристическое уравнение линейной части системы имеет все левые корни или же, кроме них, имеется еще не более двух нулевых корней (допускается, чтобы или и ). Следовательно, передаточная функция имела бы не более двух нулевых полюсов.

Рис. 25.2. Структурная схема приведенной нелинейной САУ

Формулировка теоремы В.М.Попова: для того чтобы нелинейная САУ была устойчивой, достаточно подобрать такое конечное действительное число h, при котором при всех w³0

, (25.12)

где W(jw) – амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы.

При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы

при w=0,

а при двух нулевых полюсах

при w®0 и при малых w.

Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики , которая определяется как

(25.13)

где T₀ = 1c – нормирующий множитель.

График W^*(jw) имеет вид (рис.25.3,а), аналогичный W(jw), когда в выражениях Q(p) и R(p) разность степеней (n-m)>1.

Если же разность степеней (n-m)=1, то конец графика W^*(jw) будет на мнимой оси ниже начала координат (рис.25.3,б).

Преобразуем левую часть неравенства (25.12):

Положив и используя соотношение (25.13), получим новое соотношение

(25.14)

при всех w>0.

Рис. 25.3. К определению устойчивости САУ методом В.М.Попова

Очевидно, что равенство

(25.15)

представляет уравнение прямой на плоскости W^*(jw).

Отсюда вытекает следующая графическая интерпретация теоремы В.М.Попова: для того чтобы нелинейная система была устойчивой, достаточно подобрать такую прямую на плоскости W^*(jw), проходящую через точку , чтобы вся кривая W^*(jw) лежала справа от этой прямой.

Между критерием абсолютной устойчивости В.М.Попова и вторым методом А.М.Ляпунова существует глубокая связь. В.А.Якубовичем было доказано в 1962 году, что, если выполняются условия абсолютной устойчивости В.М.Попова, то существует типовая функция А.М.Ляпунова – квадратичная форма плюс нелинейность.

3. Качество нелинейных систем

Рассмотрим симметричные относительно оси времени колебательные процессы в нелинейной системе, которые приближенно могут быть описаны затухающей или расходящейся синусоидой с медленно меняющимися во времени показателями затухания и частотой.

Рис. 25.4

Для линейных систем, когда показатель затухания и частота можно записать .

Если же частота и показатель затухания в процессе колебаний меняются, то это выражение должно записываться в другом виде

Таким образом, для нелинейной системы в первом приближении можно полагать

причем искомыми неизвестными будем считать медленно меняющиеся величины и .

Диаграмма качества затухания симметричных нелинейных колебаний представляет собой семейство линий и линий на плоскости с координатами k, a, причем k обозначает какой-либо из основных подлежащих выбору параметров системы (коэффициент усиления или др.).

Для линейных систем линии и в тех же координатах имели бы вид вертикальных прямых, так как показатель затухания и частота колебательных переходных процессов в линейной системе не зависят от величины амплитуды колебаний a, а меняются только с изменением параметров системы (в данном случае k). В нелинейных же системах эти линии искривляются в зависимости от формы нелинейности и от общей структуры системы.

Рис. 25.5