Комплексный метод расчета электрических цепей

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется комплексным методом.

Существует несколько форм представления комплексного числа:

- алгебраическая форма: ;

- показательная (или экспоненциальная) форма: ;

- тригонометрическая форма: .

Эти формы связаны между собой соотношениями: - модуль комплексного числа; - главное значение аргумента комплексного числа.

Для геометрического изображения используют прямоугольную систему координат, в которой по горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые.

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употреб­ляют также обозначения: , .

Полезно запомнить следующие соотношения:

; ; ; , и т.д.

Кроме того: ; .

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называются сопря­женными.

Если , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме . При этом соблюдается равенство: .

Пусть имеем синусоидально изменяющийся ток с начальной фазой ψ_i :

.

Комплексное изображение синусоидального тока, при заданной угловой частоте ω, определяется двумя величинами: амплитудой и начальной фазой.

,

где - комплексная амплитуда тока.

Тогда

.

Рассмотрим производную по времени от синусоидального тока:

.

Комплексное изображение производной будет иметь вид:

.

Таким образом, операция дифференцирования действительной функции заменяется умножением ее комплексного изображения на .

Рассмотрим изображение интеграла от сину­соидальной функции тока.

.

Комплексное изображение интеграла будет иметь вид:

.

Следовательно, операция интегрирования действительной функции сводится к делению ее комплексного изображения на .

Таким образом, комплексный метод позволяет заменить интегро-дифференциальное уравнение, содержащее функции времени, алгебраическим уравнением с их комплексными изображениями.

Алгоритм метода:

1. Заменить заданные функции времени их комплексными изображениями.

2. Заменить все уравнения, составленные по законам Кирхгофа, алгебраическими уравнениями для комплексных изображений.

3. Отыскать комплексные изображения искомых функций.

4. Перейти к оригиналам этих функций.

В качестве примера рассмотрим цепь с последовательно соединенными элементами R, L и C,к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону . Требуется найти ток в цепи: .

1) Заменяем функции времени их изображениями: , .

2) Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

Полученное уравнение является алгебраическим. Все слагаемые имеют общий множитель . Окончательно получаем уравнение в комплексных амплитудах:

.

3) Из последнего уравнения легко определяется комплексная ам­плитуда тока:

,

где – комплексное сопротивление цепи.

4) Зная выражение для комплексной амплитуды тока в виде , можем, используя обратный переход, записать выражение для мгновенного тока: .

Обычно рассматривают действующие значения токов и напряжений. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в раз, то обычно вместо комплексных амплитуд рассмат­ривают комплексные действующие величины: , .