Стержень равного сопротивления при растяжении и сжатии

В призматических стержнях напряжения от собственного веса по высоте сечения распределены не равномерно (рис.3.7в). Следовательно, материал элемента используется не эффективно. Запроектируем такой стержень, у которого по всей длине в любом сечении напряжения одинаковы и равны заданной величине σ = R = const (рис. 3.9).

С этой целью установим закон изменения площади поперечного сечения по длине элемента. Площадь нижнего сечения может быть найдена из условия

В сечении 1:1, взятом на расстоянии z от нижнего конца площадь равна F_z. В сечении 2:2, взятом на расстоянии dz oт предыдущего сечения, за счет приращения веса dQ_z, площадь сечения увеличится и станет равной F_z + dF_z. Cледовательно, чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы необходимо, чтобы приращение веса элемента к приращению площади сечения оставалось постоянной величиной.

или

Разделяя переменные, получим дифференциальное уравнение:

Решение этого уравнения:

ln F_z - z + C = 0

Здесь C - произвольная постоянная, которую можно найти из условия:

z =0 F_z = F₀, , следовательно, ln F₀ + C = 0 отсюда ln F₀ = - C

ln F_z – z – ln F_z = 0

ln = z

Потенцируя это выражение, найдем:

или

(3.10)

Из формулы (3.10) следует, что площадь поперечного сечения по длине элемента изменяется по логарифмической кривой. Вспомните очертания Останкинской и Эйфелевой башен. Они очерчены по кривой, так как одной из преобладающих нагрузок для них является собственный вес конструкции.

Для обычных элементов строительных конструкций сечение по высоте меняется ступенчато (стены гражданских зданий) или боковая поверхность элемента делается наклонной (опоры мостов).