Правила вычисления неопределенного интеграла

Правила вычисления неопределенного интеграла получены и соответствуют правилам вычисления производной.

Мы помним, что производная суммы равна сумме производных дифференцируемых функций.

Теорема 1. Пусть и . Тогда справедлива формула .

Доказательство сводится к проверке того, что производная правой части равна подынтегральной функции, что очевидно в силу условий теоремы.

Аналогично справедливы следующие теоремы:

Теорема 2. Пусть и . Тогда справедлива формула .

Теорема 3. Пусть , тогда справедлива формула .

Итак, для дифференцируемых функций производная разности равна разности соответствующих производных и постоянный множитель выносится при вычислении интеграла.

Производная произведения дифференцируемых функций вычисляется по формуле . Проинтегрировав обе части этого равенства, мы приходим к формуле интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Теорема 4. Пусть существуют и интегрируемы функции , , и . Тогда справедлива формула .

Для дифференцируемых функций и справедлива формула , т. е. производная сложной функции равна произведению соответствующих производных. Этой формуле соответствует формула замены переменных в неопределенном интеграле.

Теорема 5. Пусть существуют, дифференцируемы и интегрируемы функции , . Тогда справедлива формула .