Оценка остаточного члена в формуле Тейлора

Неотъемлемой частью использования формулы Тейлора является оценка ее остаточного члена. Красивые и практичные формулы появлялись в работах выдающихся математиков 18, 19 и да в 20 веках. Отметим некоторые результаты без доказательства.

Теорема 1(5). (Теорема Лагранжа) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение , (13)

Теорема 2(6). (Теорема Коши) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение , (14)

Теорема 3(5). (Теорема Пеано) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда в формуле (5) выполнено соотношение , (15)

Так как производные функции равны между собой и ограничены на любом фиксированном отрезке , то остаточный член в формуле стремится к нулю при для каждого фиксированного .

Тем более то же самое справедливо для функций и , так как производные этих функций не превосходят по модулю 1. В формулах и остаточный член стремится к нулю при для каждого .

Можно доказать, что в формуле остаточный член стремится к нулю при для каждого . Посмотрите, как выглядит эта формула при .