Майбутня вартість грошей та її визначення.

Компаундирування - процес переходу від теперішньої вартості (PV) до майбутньої (FV). Порядок визначення майбутньої вартості грошей розглянемо на прикладі.

Приклад 1.

Підприємець хоче покласти на депозит в банк 100 гр.одиниць одноразово під 5% річних на 5 років. Яку суму грошей матиме підприємець наприкінці першого року і який буде результат через 5 років?

PV = 100 гр.одиниць

і = 0,05.

I = 100 гр.од. х 0, 05 = 5 гр.од. - грошовий вираз відсотка, який отримає підприємець наприкінці 1 року.

n = 1; n = 5.

Таким чином , для n = 1 :

FVn = FV₁ = PV + I = PV + PV(i) = PV (1+ i) = 100 гр.од. х (1 + 0,05) = 100 гр. од. х (1,05) = 105 гр.од.

Тобто наприкінці першого року підприємець матиме 105 гр.одиниць. Підприємець заробив за перший рік 100 гр.од. х 0,05 = 5 гр.од, тому по закінченні першого року сума внеску дорівнювала вже 100 гр.од + 5 гр.од. = 105 гр.од.

Другий рік почався вже з цієї суми, відсоток склав 5,25 гр.од.. Відсоток за другий рік більше відсотку за перший тому, що підприємець заробив вже відсоток на відсоток першого року внеску: 5 гр.од. х 0,05 = 0,25 гр.од. Цей процес продовжується, і внаслідок того, що кожного разу початкова сума вище попередньої, річний відсоток виростає. Загальний зароблений відсоток 5,00+5,25+5,51+5,79+6,08=27,63 гр.од.,

Вартість наприкінці 2 року:

FV₂ = FV₁ (1+ i) = PV (1+ i)(1+ i) = PV (1+ i)² = 100 гр.од. х (1,05)² = 110,25гр.од.

Кінцевий результат третього року внеску: FV₃= FV₂ (1+ i) = PV(1+i)³ = 100 гр.од х (1,05)³ = 115,76 гр.од.

Таким чином, FV₅ = 100 гр.од. х (1,05)⁵ = 127,63 гр.од.

Всі ці розрахунки можна звести до вищевикладеного рівняння (5.3.):

FVn= PV (1+ i)ⁿ,

Таке рівняння можна вирішити за допомогою таблиць визначення майбутньої вартості грошей, які можна знайти в будь-якому підручнику з фінансового менеджменту. В таблицях підраховано фактор майбутньої вартості відсотку для і та n (FVIF_i,n), тобто визначена майбутня вартість 1 грошової одиниці, залишеної на рахунку на n періодів під і відсоткову ставку.

Оскільки (1+ і)ⁿ = FVIFi,n; рівняння (4.3.) може бути переписане таким чином: (5.6.)

FV_n = PV x (FVIF_i,n).

В нашому випадку в таблиці можна знайти FVIF для 5 років з 5% ставкою цифру, яка знаходиться на перехрещені стовпчику для періоду 5, і стовпчику для 5%. Бачимо, що FVIF = 1,2763 . Звідси FVn = PV x (FVIFi_,n)= 100 гр.од. х (1,2763) = 127,63гр.од.

Банкіри та фінансові менеджери іноді також використовують так зване “Правило числа 72” . Воно дозволяє приблизно визначити, яка комбінація рівня відсоткової ставки і термінів вкладу приведе до подвоєння вкладенного капіталу. Наприклад, інвестиції з 9%-м річним доходом подвоюється приблизно за 8 років (8 х 9 = 72). Інвестиція з доходом 6% на рік вимагає 12 років для подвоєння вкладенного капіталу, і так далі.

Рента (анюїтет) - це серія вкладів або виплат рівних сум, що здійснюються через певні інтервали або певну кількість періодів. Такі вклади можуть проводитись або на початку, або в кінці кожного періоду. Якщо вони здійснюються в кінці періоду, як це, звичайно, і робиться, така рента називається звичайною або відстроченою.

Якщо виплати провадяться на початку кожного періоду, то така рента називається вексельною.

Оскільки у фінансовій практиці частіше зустрічається відстрочена рента, то , якщо в задачах стоїть запитання “знайти FV анюїтетів (ренти)”, слід розуміти, що виплати здійснюються у кінці періоду. В протилежному випадку буде спеціально вживатися слово “вексельна рента”.

Для розуміння сутності визначення майбутньої вартості анюїтетів звернемося до прикладу.

Приклад 2.

Підприємець хоче класти на депозит на трьохрічний строк по 100 гр.од. в кінці кожного року під 5% річних. Яку суму він матиме по закінченні 3 років?

Цей приклад відрізняється від попереднього тим, що загальний вклад зроблено не одноразово на певний термін, а серією рівних вкладів, тобто рентою або анюїтетами.

Для розв”язання задачі ми повинні розрахувати майбутню вартість анюїтетів або ренти, FVAn.

Здійснюється нарахування платежа на платіж до n-го періоду. Сума цих платежів і є майбутньою вартістю анюїтету, FVАn.

Кожний потік грошових коштів компаундирується для того, щоб отримати FVAn.

FVAn = PMT(1+ i)⁰ + PMT (1+ i)¹+ PMT (1+ i)² + ...+ +PMT(1+ i)^n-1= PMТS_t=1 (1+і) ^n-1 = PMT (1+і)ⁿ - 1

Рішення за допомогою таблиць передбачає використання фактору відсотку майбутньої вартості анюїтетів (FVIFA_i,n) - фактор відсотку FV для анюїтету за n- періодів з і- процентною ставкою.

Значення FVIFA вже обчислено для різних комбінацій і та n, багато з яких внесено до відповідних таблиць в підручники з фінансового менеджменту.

Для того, щоб знайти відповідь (в нашому прикладі, для 100гр.од. трьохрічна рента), слід в таблиці визначення майбутньої вартості анюїтетів продивитися стовпчик для 5% для третього періоду FVIFA = 3,1525. FVAn = PMT x (FVIFA_i,n).

Таким чином, майбутня вартість ренти в 100 гр.од. буде 100 гр.од х 3,1525 = 315,25 гр.од..

Якщо б три платежі по 100 гр.од. кожний були здійсненні на початку кожного року, тоді анюїтет (рента) став би вексельною рентою. Кожний платіж буде зміщений вліво на 1 рік, тому на кожний платіж будуть нараховувати проценти додатково за 1 додатковий рік.

За допомогою таблиць:

Оскільки платежі здійснюються раніше, тому більше заробляється процентів, внаслідок чого FV вексельної ренти більше - 331,01 гр. од. у порівнянні з 315,25 гр.од. для звичайного анюїтету.

Приріст від вкладання водночас більший, ніж частками. Це підтверджує теорію, що із зростанням ризику зростає компенсація - винагорода за ризик.