Сравнение точности квадратурных формул.
Выше были приведены оценки абсолютной погрешности квадратурных формул:
для формул прямоугольников: |r| ;
для обобщенной формулы трапеции: |r| ;
для обобщенной формулы Симпсона: |r| ,
где Мi= |f(i)(x)| .
Сопоставление этих оценок позволяет сделать следующие выводы:
1) Т.к. производная порядка n+1 от многочлена степени n равна нулю, то получаем точно значение интеграла: по формуле трапеций, если подынтегральная функция линейна,
по формуле парабол, если подынтегральная функция – многочлен не выше третьей степени.
2) Погрешность вычислений по формулам прямоугольников обратно пропорциональна n; при использовании формулы трапеций – n2; при использовании формулы Симпсона – n4.
Так, например, при увеличении числа частичных отрезков в два раза погрешность вычислений по формуле прямоугольников уменьшается примерно в два раза, по формуле трапеций в 4 раза, по формуле Симпсона в 16 раз.
Для иллюстрации сделанных выводов обратимся к сравнению результатов вычисления интеграла
по различным квадратурным формулам. Для оценки погрешностей вычислим производные функции .
На отрезке [0; 1] все производные являются монотонными функциями. Абсолютная величина каждой из них достигает своего наибольшего значения при x=0, поэтому
М1=1, М2 =2, М4=24.
Это позволяет получить при вычислении соответствующие оценки погрешностей:
по формуле прямоугольников êrú ≤ 0,05;
по формуле трапеций êrú ≤ 0,0017;
по формуле Симпсона êrú ≤ 0,000033.
Сравним полученные результаты, полученные по разным квадратурным формулам со значением ln2 0,6931472:
по формуле прямоугольников 0,71877;
по формуле трапеций 0,69377;
по формуле Симпсона 0,69315
Видно, что оценки погрешности, как и следовало, ожидать, оказались несколько завышенными.
Итак, из рассмотренных квадратурных формул наибольшую точность дает формула Симпсона, наименьшую — формула прямоугольников.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 916;