Равносторонняя гипербола.

Среди класса нелинейных функций, параметры которой без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу. Для нее, заменив 1/х на z, получим линейное уравнение регрессии

у = а + вz

Гипербола может быть использована не только для характеристики удельных затрат с объемами производства, как уже указывалось ранее. Примером ее использования может служить также взаимосвязь доли расходов на определенные группы товаров (продовольственные, непродовольственные, товары длительного пользования) с общей суммой доходов. Подобного рода взаимосвязи получили название кривых Энгеля. В 1857 году немецкий статистик Энгель сформулировал закономерность – с ростом дохода доля затрат на продовольствие уменьшается. Соответственно, возрастает доля расходов на непродовольственные товары.

Допустим, вы исследуете соотношение между ежегодным потреблением бананов и годовым доходом, и наблюдения приведены в табл.4. 1, где собраны наблюдения для 10 семей (слайд).

Таблица 4.1

На слайде (рис.4.2). представлено облако точек, соответствующих наблюдениям, а также график уравнения регрессии между у и х

= 5,09 + 0,73 х ; R²= 0,64. (4.7.)

Стандартные ошибки (1,23) (0,20)

Из рисунка видно, что график уравнения регрессии не вполне соответствует точкам наблюдений, несмотря на то, что коэффициент при х существенно отличается от нуля при однопроцентном уровне значимости. Очевидно, что точки наблюдений лежат на кривой, тогда как уравнение регрессии характеризуется прямой. В данном случае нетрудно заметить, что функциональная зависимость между у и х определена неправильно.

В том случае, если вы не можете представить зависимость в графическом виде ( например, если вы используете множественный регрессионный анализ), понять, что где то допущена ошибка, можно с помощью анализа остатков. В данном случае значения остатков приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Продолжение табл. 4.2.

Положительные или отрицательные, большие или малые остатки должны чередоваться случайным образом. Здесь же, как видно из таблицы, сначала остатки отрицательны, затем они становятся положительными, достигают максимума, а потом снова уменьшаются и становятся отрицательными: это представляется сомнительным.

В данном примере соотношение имеет вид:

у = 12 - (4.8.)

где х принимает целые значения от 1 до 10. Если мы знаем это и определим z = 1/ х, то уравнение примет линейный вид (4.7.) . Значение z для каждой семьи уже подсчитано в таблице 4.1. Оценив регрессию между y и z , получим

= 12, 08 - 10, 08 z ; R² = 0, 9989

Стандартные ошибки (0, 04) (0,12 ) (4.9.) Подставив z = 1 / x , имеем

(4.10.)

С учетом высокого качества оцененного уравнения (4.9.) неудивительно, что соотношение (4.10) близко к истинному уравнению (4.8 ) На слайде (рис. 4.3 и рис. 4.4) показаны регрессионная зависимость и точки наблюдений для у, х и z.

Улучшение качества уравнения, измеряемого с помощью коэффициента R², отражено в более полном соответствии графиков. Сравните графики на рис.4.2. и 4.4.

Степенная функция.

Рассмотрим далее функции вида

у = aх ^b (4.11)

которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным. Данное соотношение может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов, знакомых вам из курса математики. Ниже приведем основные свойства логарифмов, которые помогут вам в преобразованиях нелинейных уравнений.

Основные правила гласят :

1. Если у = х z , то log y = log x + log z .

2. Если y = x / z , то log y = log x - log z.

3. Если y = x ⁿ, то log y = n log x.

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений. Например, если у = a х ^b , то по правилу 1 :

log y = log a + log x ^b и по правилу 3

= log a + b log x.

Если обозначить у¹ = log (y) , z = log x и a ¹ = log a , то уравнение (4.11) можно переписать в следующем виде:

у ¹ = a¹ + b z (4.12)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычислим у ¹ и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у¹ от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственную оценку b. Постоянный член является оценкой a¹, то есть log a. Для получения оценки a необходимо взять антилогарифм, то есть выполнить обратное действие.