Математическая индукция

Специальным видом индукции является математическая индукция, которую математики также иногда называют полной. Она отличается от ранее рассмотренной полной индукции тем, что имеет дело с бесконечным множеством предметов, но похожа на нее тем, что также дает достоверный результат. Именно поэтому она применяется в математике для доказательства теорем в математических теориях.

Математическая индукция основывается на строении и свойствах натурального ряда чисел. Хотя натуральный ряд чисел является бесконечным, он построен на очень простом законе: каждое следующее число больше предыдущего ровно на единицу. Это свойство натурального ряда позволяет доказывать общие утверждения, основываясь на следующей процедуре. Сначала мы доказываем, что нужное нам свойство присуще первому члену натурального ряда числу 1, а затем показываем, что из предположения о том, что это свойство присуще некоторому произвольному числу, назовем его n, следует, что оно присуще и следующему за ним числу, т.е. n+1. Таким образом, мы получаем способ доказательства присущности интересующего нас свойства для любого натурального числа.

Схематически математическую индукцию можно представить следующим образом.

Пусть Р - интересующее нас свойство натуральных чисел. Тогда

Р(1) и Р(n) Р(n+1) ├ х Р(х).

Здесь Р(1) называется базисом индукции, Р(n) - индуктивным предположением, а обоснование импликации Р(n) Р(n+1) индуктивным шагом.

Математическая индукция является по характеру своего заключения дедуктивным умозаключением. Однако по своему строению она похожа на индуктивные умозаключения, поскольку в ней совершается переход от единичных суждений к общему.

Неполная индукция

Если мы имеем дело с необозримыми конечными или бесконечными множествами предметов (не так хорошо упорядоченных, как натуральный ряд чисел), то нам приходится прибегать к способу умозаключений, который называется неполной индукцией.

Неполная индукция – это индуктивное умозаключение, заключением которого является общее суждение об объектах данного множества, полученное на основании знания только некоторых объектов, принадлежащих к данному множеству.

Пример. Разобранный в начале этого параграфа пример с белыми лебедями представляет собой случай неполной индукции.

Характерной чертой неполной индукции, отличающей ее от уже рассмотренных полной и математической индукции, является то, что суждение, служащее заключением неполной индукции, в лучшем случае является истинным тойько с большей или меньшей степенью вероятности. Заключение неполной индукции не следует логически из посылок, а только подтверждается ими в большей или меньшей степени. Большая или меньшая вероятность заключения отражает эту степень подтверждения.

Пример. Рассмотрим полную индукцию, в которой мы выясняли, все ли ученики 1в класса Первой Калининградской гимназии любят логику. Если бы у нас в классе присутствовали не все ученики, а допустим только шестнадцать из восемнадцати, и оказалось, что все присутствующие любят логику, то мы могли бы с большой степенью уверенности утверждать, что все ученики 1в класса любят логику. Однако научная добросовестность заставила бы нас учесть и то, что вполне может оказаться, что оставшиеся два ученика не любят логику. Таким образом, мы сказали бы, что суждение "Все ученики 1в класса любят логику" обладает высокой вероятностью, но не является достоверно истинным. В данном простом случае можно даже подсчитать эту вероятность или степень подтверждения. Действительно, 16 из 18 учеников подтвердили, что они любят логику, а относительно остальных это неизвестно. Поэтому мы можем сказать, что заключение нашей индукции имеет вероятность 16/18 или 0,89.

Приведенный пример весьма прост и ситуация, в которой мы можем так точно подсчитать вероятность истинности заключения индукции, встречается не так часто. Поэтому в так называемой индуктивной логике разрабатываются специальные методы оценки вероятности заключений индукции.

Неполная индукция бывает двух видов: популярная индукция, или индскция через простое перечисление, и научная индукция.

Популярная индукция

Полное название этого вида неполной индукции - индукция через простое перечисление при отсутствии контрпримера. Популярная индукция похожа на полную индукцию с тем только отличием, что она имеет дело с конечными необозримыми и с бесконечными множествами интересующих нас предметов.

Введем терминологию для описания популярной индукции.

Наличие у предмета а интересующего нас признака Р, т.е. Р(а), назовем примером.

Отсутствие у предмета а интересующего нас свойства Р, т.е. Р(а) назовем контрпримером.

Суждение о наличии признака Р у всех предметов, принадлежащих рассматриваемому множеству, т.е. х Р(х), назовем индуктивным обобщением.

Таким образом, мы получаем следующую схему популярной индукции:

а₁ имеет признак Р.

а₂ имеет признак Р.

...

а_n имеет признак Р.

а₁, а₂, ..., а_n принадлежат множеству А.

Все а, принадлежащие множеству А, имеют признак Р.

Символически эта схема[54] выглядит следующим образом:

Р(а₁)

Р(а₂)

...

Р(а_n)

а₁ А, а₂ А, ..., а_n А

_________________________

х Р(х)

Обобщение в популярной индукции основывается на том, что во всех наблюдаемых примерах элементы множества А обладают свойством Р, которое регулярно повторяется при наблюдении элементов этого множества.

Необходимым условием является то, что при этом среди наблюдаемых элементов множества А не встречается ни одного контрпримера.

Эта регулярность повторения признака и отсутствие контрпримера служат основанием для перенесения этого признака на все изучаемое множество А. Видовым признаком популярной индукции является отсутствие определенного метода отбора наблюдаемых cлучаев.

Популярная индукция - это неполная индукция, в которой отсутствует определенный метод отбора примеров, служащих посылками данного умозаключения.

Пример. Классическим образцом популярной индукции является история с индуктивным обобщением "Все лебеди белы". Получилось так, что в Европе аплоть до ХVП века встречались только белые лебеди. На основе этих наблюдений было сформулировано обобщение: "Все лебеди белы". Нетрудно заметить, что при этом признак "быть белым" был перенесен с ограниченного множества лебедей, наблюдавшихся в Европе, на все необозримое тогда множество лебедей. Однако, когда в 1606 г. была открыта Австралия (тогда Новая Голландия), там были обнаружены черные лебеди. Таким образом, обобщение "Все лебеди белы" оказалось ложным.

Этот классический образец индукции показывает, что заключение популярной индукции не является достоверно истинным, но только предположительным, вероятным, или правдоподобным. Это означает, что мы не можем сказать, что заключение индукции точно истинно, а можем только сказать, что заключение истинно с некоторой большей или меньшей степенью вероятности.

Характер популярной индукции, в которой преимущественно обращается внимание на сходство исследуемых предметов по определенному признаку, обусловливает как ее распространенность, так и ее ненадежность.

Раснространенность такого рода умозаключений связана с естественной человеческой склонностью искать примеры, подтверждающие суждения, к принятию которых за истинные мы предрасположены. Популярная индукция является основанием нашей веры в предсказания астрологов и чудеса экстрасенсов. Люди, которые хотят верить в "чудеса", среди многочисленных случаев "лечения" обращают внимание только на то, что подтверждает их веру, т.е. принимают во внимание примеры и игнорируют контрпримеры. Астрологи стремятся сделать как можно больше "предсказаний" для того, чтобы что-нибудь из предсказанного сбылось, безошибочно рассчитывая на то, что публика примет во внимание именно эти, подтверждающие их предсказания, примеры и не обратит внимание на несбывшиеся предсказания. На эту особенность мышления астрологов обращал внимание еще Августин Блаженный в своей "Исповеди" (книга VII): "... науки предсказывать будущее не существует, человеческие же догадки часто приобретают силу оракула: предсказатели не знают того, что произойдет, но, боворя о многом, натыкаются на то, что действительно произошло".

Нашу склонность к поиску единообразия в жизни и природе можно продемонстрировать и на других примерах. Так, мы склонны подмечать за одними людьми только плохое, а за другими - только хорошее, обычно игнорируя противоречащие нашей склонности примеры, и на этой основе формулируем свои обобщения о нравственных характерах людей. В основе таких оценок также лежит популярная индукция.

Приведенные примеры поясняют, почему популярная индукция не являерся надежным способом умозаключения.

Во-первых, случайный характер выбора предметов, принадлежащих интересующему нас множеству А обусловливает возможность того, что исследованное подмножество, состоящее из предметов а₁, а₂, ... , а_n случайным образом обладает признаком Р, тогда как существуют другие подмножества А, которые этим признаком не обладают. Мы уже видели такую ситуацию на примере с лебедями и их признаком "быть белым".

Пример. В Аргентине говорят на испанском языке.

В Эквадоре говорят на испанскмм языке.

В Венесуэле говорят на испанском языке.

Аргентина, Эквадор, Венесуэла - южноамериканские страны.

Следовательно, во всех южноамериканских странах говорят на испанском языке.

Хотя формально такая индукция похожа на правильную, но заключение ее ложно, потому что дальнейшее исследование показывает, что в Бразилии говорят на португальском языке.

Основанием вывода в популярной индукции является простое перечисление примеров индуктивного обобщения, служащего заключением индукции, и отсутствие хотя бы одного контрпримера. Главной чертой популярной индукции, обусловливающей ее ненадежность, является то, что она не гарантирует отсутствия контрпримера.

Во-вторых, популярная индукция не учитывает разнообразия объектов изучаемого множества. Как правило, любое множество состоит из объектов различных видов, которые могут иметь различное отношение к рассматриваемому признаку. Простое перечисление случайно отобранных объектов может не учитывать какого-либо вида объектов, которому не присущ признак, приписываемый предметам данного множества в индуктивном обобщении.

Пример. Допустим, мы хотим выяснить, знают ли студенты Калининградского государственного университета, кто такой Владимир Соловьев. Мы подходим к корпусу этого университета, задаем студентам этот вопрос и получаем на него утвердительные ответы и ни одного отрицательного. На этой основе мы можем сформулировать индуктивное обобщение: Все студенты КГУ знают, кто такой Владимир Соловьев. Однако впоследствии может выясниться, что мы спрашивали студентов возле гсманитарного корпуса университета, а опрос у корпуса естественных факультетов вполне мог дать другой результат.

Главный недостаток популярной индукции заключается в том, что процедура формирования индуктивного обобщения не дает никаких гарантий отсутствия контрпримера, а обращает в основном внимание на примеры данного индуктивного обобщения.

С этим связана логическая ошибка, свойственная популярной индукции и называемая поспешное обобщение.

Поспешное обобщение - логическая ошибка, состоящая в том, что индсктивное обобщение формируется на основании немногих, случайно встретившихся примеров.

Пример. 1 - простое число, 2 - простое число, 3 - простое число. 1, 2, 3 - натуральные числа. Следовательно, все натуральные числа - простые.

Здесь изучение трех первых случаев считается достаточным основанием для формирования индуктивного обобщения, относящегося ко всему бесконечному множеству натуральных чисел.

Пример. Когда заболел сапожник, ему предложили лекарство и оно помогло. Когда заболел портной, ему предложили то же самое лекарство, но портной умер. Следовательно, это лекарство полезно сапожникам и вредно портным.

Здесь индуктивное обобщение формируется на основе одного примера и случайного различия в профессиях.

Рассмотренные недостатки популярной индукции и ошибка поспешного обобщения показывает пути повышения надежности выводов по индукции:

1) увеличение числа изученных случаев (в примере с натуральными и простыми числами, уже изучение числа 4 предоставило бы в наше распоряжение контрпример и опровергло бы наше индуктивное обобщение);

2) увеличение разнообразия рассматриваемых случаев (в примере со студентами КГУ следовало провести опрос у всех корпусов университета);

3) учет характера связи между рассматриваемыми предметами и их признаками.

§ 3. Научная индукция, или методы обнаружения причинных связей

Популярная индукция - метод индуктивного обобщения, чаще всего применяемый в нашей обычной жизни. Но уже в обычной жизни мы не только стремимся сформировать какое-то общее мнение типа "Никто не без греха" или "Все лебеди белы", но и раскрыть причины тех или иных интересующих нас явлений. "Люди ненавидят друг друга, потому что они эгоисты по природе" или «Люди любят друг друга, потому что любовь имеет божественное происхождение» - в этих суждениях независимо от нашего согласия или несогласия с ними, рассматривается явления ненависти или любви людей друб к другу и предлагаются причины этих явлений - эгоизм, имеющий природное происхождение, или любовь, имеющая божественное происхождение.

Обнаружением причинных связей специально занимается наука. Наука рассматривает явления природного, социального и психического мира и ищет причины, которые служат основанием для объяснения этих явлений и предсказания других явлений. Однако в отличие от обычной жизни причинные связи, раскрываемые в науке, имеют всеобщий и проверяемый характер. Методом проверки является либо эксперимент или наблюдение, либо косвенные приемы, разработанные в данной науке для тех ситуаций, в которых эксперимент и наблюдение невозможны или в данный момент не осуществимы.

Наука - область человеческой деятельности, в которой разрабатываются систематические методы открытия причинных связей, допускающих объективную проверку.

Это определение объясняет, почему мы назвали методы обнаружения причинных связей научной индукцией.

Очевидно, что наше причинные суждения о людях, которые ненавидят или любят дрсг друга, не принадлежат к области науки, во-первых, потому что неясно, по какому систематическому методу они получены, а, во-вторых, они не допускают объективной проверки.

Что же такое причинная связь? Когда мы говорили об определениях, то познакомились с тезисом, согласно которому далеко не все можно определить. Например, не поддаются определению понятия, которые мы назвали категориями, т.е. предельно общие для данной области знания категории. Причинность - категория философская, поэтому для нее даже нельея подобрать более общей области знаний, из которой можно было бы заимствовать родовое понятие. Поэтому нам придется ограничиться разъяснением понятия причинности и его основных признаков.

Причинность - это свойство мира явлений, в соответствии с которым каждое явление порождается явлениями, предшествующими ему во времени, и порождает некоторые явления, следующие за ним во времени.

В ситуации, в которой имеется причинная связь, можно выделить три компонента: 1) явление, которое претендует на то, чтобы быть причиной; 2) явление, которому мы приписываем характер действия и 3) обстоятельства, в которых происходит взаимодействие причины и действия.

Явление, которое претендует на то, чтобы быть причиной, и обстоятельства, в которых происходит взаимодействие причины и действия в совокупности образуют условия порождения явления, претендующего на то, чтобы быть действием данной причины.

Причина - это явление, порождающее при данных условиях другое явление, следующее за ним во времени.

Причинная связь имеет следуьщие характеристики:

а) причина постоянно предшествует своему действию во времени;

б) причина порождает действие, обусловливает его появление;

в) связь причины и следствия необходима;

г) связь причины и действия всеобща в мире явлений;

д) с изменением интенсивности причины изменяется и

интенсивность действия.

Кратко прокомментируем эти признаки связи причины и действия.

а) Предшествование указывает на то, что причину данного явления следует искать среди условий, предшествующих ему во времени. С предшествмванием связана такая характеристика, как смежность причины и следствия во времени, т.е. наличие такого промежутка времени, когда причина и следствие сосуществуют.

б) Порождение говорит о том, что предшествование во времени недостаточно для утверждения связи между причиной и действием. Эта характеристика позволяет отличить причину от повода.

Повод - это условие, предшествующее появлению данного явления, но не порождающее его.

Пример. Поводом для развязывания 1-ой Мировой войны было убийство эрцгерцога Фердинанда, причины же лежат в области национально-государственных интересов.

в) Необходимость связи причины и действия подсказывает нам еще метод доказательства отсутствия причинной связи: если причина F наступает, а предполагаемого действия G не наблюдалось, это означает, что F не является причиной G.

г) Всеобщность причинной связи означает, что для любого действия мы можем обнаружить его причину. Это придает уверенности в наших поисках причин для действий, и действий для причин. Всеобщий характер причинной связи одновременно означает, что взаимосвязь причины и действия является связью между многими явлениями, поэтому, как правило, наличие причинной связи нельзя установить на основании единичного явления. Необходимо рассмотрение определенного множества явлений, в рамках которого систематически проявляется искомая причинная связь.

д) Изменение интенсивности характеризует связь причины и действия по степени их проявления и наблюдается тогда, когда причина и действие определенное время существуют одновременнм. Так, сильный ветер при прочих равных условиях вызывает большие разрушения, чем более слабый ветер, большее количество голосов, поданное за какую-либо партию на выборах в парламент, дает этой партии большее число мест в парламенте и т.п.

Отметим, что одна эта характеристика достаточна только для того, чтобы говорить о связи двух явлений, в которых мы видим причину и следствие, но не достаточна, чтобы точно утверждать, что одно из этих явлений является причиной другого.

На свойствах причинной связи основаны методы открытия причинных связей, разработанные знаменитым английским философом Френсисом Бэконом, а затем усовершенствованные и систематизированные английским же философом, логиком, экономистом Джоном Стюартом Миллем. В силу связи науки с открытием причинных связей эти методы также называются методами научной индукции. Всего таких методов пять:

1. Метод единственного сходства.

2. Метод единственного различия.

3. Соединенный метод сходства и различия.

4. Метод сопутствующих изменений.

5. Метод остатков.

Рассмотрим эти методы по отдельности.