Основы теории зубчатого зацепления

Профили зубьев пары колес должны быть сопряженными, т.е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответствовать вполне определенный профиль зуба другого колеса. Чтобы обеспечить постоянство передаточного числа, профили зубьев нужно очертить такими кривыми, которые удовлетворяли бы требованиям основной теоремы зацепления.

Рис. 3.6 Схема к доказательству основной теоремы зацепления

Основная теорема зацепления. Для доказательства теоремы рассмотрим пару сопряженных зубьев в зацеплении (рис. 3.6). Профили зубьев шестерни и колеса касаются в точке S , называемой точкой зацепления. Центры вращения О1 и О2 расположены на неизменном расстоянии аω друг от друга. Зуб шестерни, вращаясь с угловой скоростью ω1, оказывают силовое действие на зуб колеса, сообщая последнему угловую скорость ω2. Проведем через точку S общую для обоих профилей касательную ТТ и нормаль NN. Окружные скорости точки S относительно центров вращения О1 и О2:

υ1=O1S·ω1 и υ2=O2S·ω2.

Разложим υ1 и υ2 на составляющие ύ1 и ύ2 по направлению нормали NN и составляющие υ″1 и υ″2 по направлению касательной ТТ . Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблюдение условия ύ1 = ύ2, в противном случае при ύ1< ύ2 зуб шестерни отстанет от зуба колеса, а при ύ1> ύ2 произойдет врезание зубьев. Отпустим из центров О1 и О2 перпендикулярны О1В и О2С на нормаль NN .

Из подобия треугольников аеS и ВSО1 ύ1/ υ1 = О1В/О1S, откуда

Из подобия треугольников afS и CSO2 ύ2/υ2=O2C/O2S, откуда ύ2=(υ2/O2S)O2C=ω2·O2C.Но ύ1=ύ2, следовательно,ω1·O1B=ω2·O2C.

Передаточное число

u=ω1/ω2=O2C/O1B. (3.1)

Нормаль NN пересекает линию центров О1О2 в точке П, называемой полюсом зацепления. Из подобия треугольников О2 ПС и O1ПB

О2С/О1В=О2П/О1П=rω2/rω1.(3.2)

(3.3)

Таким образом, основная теорема зацепления формулируется: для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профили их зубьев должны очерчиваться по кривым, у которых общая нормаль NN, проведенная через точку касания профилей, делит расстояние между центрами О1О2 на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

3.3 Образование цилиндрического зубчатого колеса

Реальные зубчатые колеса характеризуются шириной зубчатого венца. В зацеплении участвуют не профили, а поверхности зубьев, следовательно, касанию плоских профилей в точке соответствует касание поверхностей по линии контакта. Основным окружностям – начальные цилиндры, окружностям вершин – цилиндры вершин, окружностям впадин – цилиндры впадин.

Рис. 3.7 Образование цилиндрического зубчатого колеса

На рис. 3.7 изображен основной цилиндр радиуса rb и касательная к нему плоскость N, на поверхности которой на определенных расстояниях нанесены прямые BC,DF,…, параллельные образующей цилиндра. При перекатывании справа налево плоскости N прямая BC, опишет в пространстве правую эвольветную поверхность зуба. Левую поверхность образует прямая DF при перекатывании плоскости N в обратном направлении. Образовав аналогичным приемом боковые поверхности остальных зубьев и ограничив их высоту цилиндрами вершин и впадин, получим обод эвольветного цилиндрического прямозубого колеса.