Двоичная система счисления. Двоичная (бинарная) система счисления имеет основание 2
Двоичная (бинарная) система счисления имеет основание 2. Ее алфавит – цифры 0 и 1. Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную также справедливо правило (6). Представим в десятичном виде число 1101(2), или, что то же самое, &1101 (& - амперсант, - этим символом принято указывать то, что следующая за ним запись двоичная).
1101(2)=1*23+1*22+0*21+1*20=1*8+1*4+0*2+1*1=13(10)
Рис. 14. Перевод числа из двоичной СС в десятичную. |
Но двоичная система имеет некоторые приятные особенности, т.к. коэффициентами при степенях двойки в ней могут быть только либо нули (и тогда можно просто игнорировать разряд числа, имеющий значение “0”), либо единицы (умножение на “1” также можно опустить).
Т.е. достаточно просуммировать “два в соответствующей степени” только в тех позициях двоичного числа, в которых находятся единицы. Степень же, в которую нужно возводить число 2, равна номеру позиции.
Арифметические операции в любой позиционной системе счисления также имеют общую логику.
Таблица 4.
“Круглые” числа в двоичной СС | ||||
&101 | = 5(10) | &1 | = 20 | = 1 |
+ 1 | &10 | = 21 | = 2 | |
&110 | = 6(10) | &100 | = 22 | = 4 |
+ 1 | &1000 | = 23 | = 8 | |
&111 | = 7(10) | &10000 | = 24 | = 16 |
Каждый разряд двоичного числа имеет информационную емкость 1 бит. На основании одного двоичного разряда можно закодировать только два десятичных числа - &0=0(10), &1=1(10), на основании двух двоичных разрядов можно закодировать уже четыре десятичных числа – &00=0(10), &01=1(10) , &10=2(10), &11=3(10) , тремя двоичными разрядами можно представить восемь десятичных чисел и т.д. в соответствии с формулой Хартли (2).
Таблица 5.
20 | десятичное | 22 | 21 | 20 | десятичное | ||
21 | 20 | десятичное | |||||
Мы видим, что добавление каждого следующего разряда вдвое увеличивает количество двоичных комбинаций. Графически это может быть представлено так:
Рис. 15. Каждый следующий разряд двоичного числа удваивает количество возможных комбинаций из нулей и единиц.
Таблицу степеней числа 2 от 20 до 210 следует знать наизусть.
Таблица 6.
N | |||||||||||
2N |
Открытие двоичного способа представления чисел приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Известный немецкий математик Лейбниц (1646-1716) в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Он подчеркивал, что "вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок".
Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через 2,5 столетия, когда именно двоичная система счисления нашла применение в качестве универсального способа кодирования информации в компьютерах.
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 1586;