Основные свойства окрестностей

Нетрудно проверить, что являются справедливыми перечисленные ниже свойства окрестностей.

1. Свойство о существовании непересекающихся окрестностей

У любых двух различных точек расширенной числовой прямой всегда существуют непересекающиеся окрестности (рис. 22).

Рис. 22

Так как окрестность каждой точки можно «измерить» (описать) числом , то рассматриваемое свойство для -окрестностей записывается так:

2. Свойство о пересечении двух окрестностей

Пересечение двух окрестностей одной и той же точки (конечной или бесконечно удаленной) является также окрестностью этой точки,
(рис. 23).

Рис.23

3. Свойство о сужении e-окрестностей

e-окрестность любой точки сужается, если уменьшать число e >0.

4. Понятие о проколотых окрестностях

Проколотой окрестностью точки называется любая окрестность этой точки, которая не включает в себя саму точку a.

Обозначения проколотых окрестностей: или .

Проколотая e-окрестность конечной точки a описывается и изображается так, как показано на рис. 24.

	Рис. 24

Примеры (проколотые e-окрестности точек )

1) a = 3, e = 0,1

2) , e=0,1 ;

3) , e = 0,1 .