Отношения между элементами одного множества

В процессе обучения дошкольникам часто приходится рассмат­ривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:

- сравнивать по величине;

- подбирать одинаковые;

- выстраивать сериационный ряд;

- упорядочивать карточки.

В математике изучают взаимосвязи между числами («быть больше», «следовать за», «быть меньше на 1»), в геометрии рассмат­ривают отношения равенства, пересечения, параллельности и др.

Чаще всего мы сталкиваемся с отношениями между двумя объ­ектами, их называют бинарными.

Способы задания отношений:

1. Указывают характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в этом отношении. При этом характеристическое свойство представляет собой предложение с двумя переменными.

2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.

Например элементы множества X = {1, 2, 3, 4, 5 } связаны от­ношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на 1». Это же от­ношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных дан­ным отношением: {(2;1), (3;2), (4;3), (5; 4) }.

В математике отношения между двумя элементами часто за­писываются при помощи символов: х>у, а//b, y=3х, с^ l

Способы задания отношений взаимосвязаны – от одного мож­но переходить к другому, и наоборот. Например, детям предложе­но задание: «Маша, Катя, Сережа, Валера – дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом». Выполняя его, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.

В математике изучают большое разнообразие отношений. Что­бы облегчить решение этой задачи, отношения классифицируют по свойствам.

Пусть R – некоторое отношение на множестве X, a x, y, z - лю­бые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с эле­ментом у, то пишут xRy.

Свойства отношений:

1. Рефлексивность: каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой («параллельность», «равенство»).

R рефлексивно <=> х R х

2. Симметричность: если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находит­ся в этом отношении с элементом х («параллельность», «перпенди­кулярность», «равенство», «быть родственником» ).

R симметрично <=> x R у => у R x

3. Антисимметричность: если из того, что х находится в дан­ном отношении с элементом у и х ¹ у, следует, что элемент у в этом отношении с х не находится («больше», «меньше», «длиннее», «короче»).

R антисимметрично <=> х R у и х ¹ у => у R x

4. Транзитивность: если из того, что элемент х находится в
данном отношении с элементом у, а элемент у находится в этом
отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом z («больше», «выше», «старше», «рав­но», «параллельно»).

R транзитивно <=> х R у и у R z => х R z

Одно и то же отношение может обладать несколькими свойст­вами. Так отношение «равно» - рефлексивно, симметрично, тран­зитивно, отношение «больше» - антисимметрично и транзитивно.

Если отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности («равенство», «па­раллельность»).

Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно определяет разбиение этого множества на классы. И наоборот, любое разбиение множества X на классы определяет на этом мно­жестве отношение эквивалентности.

Это утверждение проявляется, например, при выполнении за­даний: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам».

«Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одно­го цвета».

Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.

Если отношение транзитивно и антисимметрично, то оно на­зывается отношением порядка («больше», «длиннее», «следовать»).

Эти отношения упорядочивают элементы множества.

Множества с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Например, выполняя задания: «Разложи полоски по ширине от самой узкой до самой широкой». «Разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка: «быть шире», «следовать».

Вообще, отношения эквивалентности и порядка играют боль­шую роль в формировании у дошкольников правильных представ­лений о классификации и упорядочивании множеств. Кроме того, дети встречаются с большим числом других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.