Формат с плавающей точкой (для вещественных чисел)

Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.

Формат чисел с плавающей точкой основывается на экспоненциальной форме записи чисел, в котором любое вещественное число X, представленное в системе счисления с основанием Q, можно записать в виде:

,где m -мантисса числа (правильная дробь, модуль которой меньше 1), n- порядок числа, Q – основание системы счисления.

Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно. Например, справедливы следующие равенства:

25,324₁₀=2,5324*10¹=0,25324*10²=0,0025324*10⁴=253,24*10^-1=2532,4*10^-2 …

В компьютере используется нормализованное представление числа с плавающей точкой. Мантисса должна удовлетворять условию: 0,1£ m £ 1, т.е. мантисса меньше единицы и первая значащая цифра – не ноль.

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следовательно, внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению двух целых чисел: мантиссы и порядка.

В разных типах компьютерах применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой.

Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти четыре (число обычной точности) байта или восемь (число с двойной точностью) байта.

Из рисунка видно, что в старшем бите 1-го байта хранится знак числа – 0(плюс) или 1(минус). Оставшиеся 7 битов первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы (24 разряда).

В семи разрядах машинного порядка помещаются двоичные числа в диапазоне от 000 0000₂ (0₁₀) до 111 1111₂ (127₁₀). Таким образом, всего 128 значений. Так как порядок может быть положительным и отрицательным, то эти 128 значений разделим поровну между положительными и отрицательными значениями порядка: от -64 до 63 – математический порядок.

Машинный порядок смещен относительно математического и имеет только положительные значения. Смещение выбирается так, чтобы минимальному математическому значению порядка соответствовал нуль.

Связь между машинным порядком (Мр) и математическим порядком (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:

Мр = р+64₁₀

В двоичной системе формула имеет вид: Мр ₂= р₂+100 0000₂

Числа с плавающей запятой чаще всего имеют формат двойное или учетверенное слово.

Для записи внутреннего представления вещественного числа необходимо:

1. перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления с 24-значащами цифрами;

2. нормализовать двоичное число;

3. найти машинный порядок в двоичной системе счисления;

4. учитывая знак числа, выписать его представление в 4-байтовом машинном слове.

Например. Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой.

1.Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами:

1111 1010, 0011 0000 0000 0000₂.

2.Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

0, 1111 1010 0011 0000 0000 0000 * 10¹⁰⁰⁰₂. Здесь основание 2₁₀ = 10₂ и порядок 8₁₀ = 1000₂

3.Вычислим машинный порядок в двоичной системе счисления:

Мр = 1000+ 100 000 = 100 1000.

4.

Шестнадцатеричная форма: 48FA3000