Уравнения потенциального движения

Потенциалом поля скоростей фильтрационного течения называется функция

. 2.5

Равенство (2.5) можно переписать в виде

2.6

или, учитывая закон Дарси,

. 2.7

Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации; gradj- градиент потенциала j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j,

;

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , e_Q , e_j , e_r , e_z - единичные вектора по осям координат x, y, z , Q, j, r и z (цилиндрическая система ).

Подставляя (2.7)в (2.1) получим

, 2.8

а для установившегося течения

. 2.9

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Djоператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два важных свойства, которые имеют большое практическое приложение, а именно:

сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

произведение частного решения на константу - также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

;

где: (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.