Условия Коши-Римана

Бернхард Риман (1826–1866) — немецкий математик.

Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

1)

2)

В первом случае:

Во втором случае:

Тогда должны выполняться равенства:

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

Теорема. Если функция имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши-Римана.

Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

Теорема. Для того, чтобы функция была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

Интегрирование функций комплексной переменной.

Пусть - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области.

у

В

L

А

х

Кривая L задана уравнением

Определение. Интегралот функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом:

Если учесть, что , то

Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.