Матричный метод решения систем линейных уравнений. Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Составим матрицы: A = ; B = ; X = .
Систему уравнений можно записать:
A×X = B.
Сделаем следующее преобразование:
A-1×A×X = A-1×B,
т.к. А-1×А = Е, то
Е×Х = А-1×В
Х = А-1×В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А-1.
D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 = = -5; M21 = = 1; M31 = = -1;
M12 = M22 = M32 =
M13 = M23 = M33 =
A-1 = ;
Cделаем проверку:
A×A-1 =
= E.
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = × = .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.
Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 573;