Правило Крамера решения систем линейных уравнений
Рассмотрим невырожденные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых и определитель матрицы системы отличен от нуля. Определитель матрицы называется определителем системы. Следующая теорема, называемая правилом Крамера, отвечает на второй вопрос.
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
![]() | (13.3) |
Коэффициенты этой системы составляют квадратную матрицу второго порядка:
![]() | (13.4) |
Решим систему (13.3). Для этого умножим первое уравнение системы на , второе – на
и вычтем из первого уравнения второе:
.
Аналогично, исключая , получим
.
Если , то найдем единственное решение системы:
.
Общий знаменатель значений неизвестных и
, обозначаемый через
, называется определителем матрицы
. Это определитель второго порядка. Числителями неизвестных
и
являются определители тоже второго порядка
. Откуда
.
Мы получили правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Правило Крамера. Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение: , где ‑ определитель, получаемый из заменой -го столбца столбцом свободных членов.
Невырожденную систему линейных уравнений можно решить и иным способом.
Поскольку матрица ‑ невырожденная, то для нее существует единственная обратная матрица
. Умножив обе части уравнения
слева на матрицу
, получим
, откуда
.
Мы ответили на три вопроса относительно систем линейных уравнений. Однако применение теоремы Крамера, которая позволила дать этот ответ, приводит к слишком громоздким вычислениям. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса.
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 525;