Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат , третья – осью аппликат ; точка ‑ начало координат (Рис. 4.4).

Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям . Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка . Проектируя ее на ось , получим точку . Первой координатой или абсциссой точки называется длина вектора , взятая со знаком плюс, если направлен в ту же сторону, что и вектор , и со знаком минус ‑ если в противоположную. Аналогично проектируя точку на оси и , определим ее ординату и аппликату . Тройка чисел взаимно однозначно соответствует точке .

Система координат называется правой, если вращение от оси к оси в ближайшую сторону видно с положительного направления оси совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси к оси в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор , направленный из начала координат в точку называется радиус-вектором точки , т.е.:

(4.6)

Если даны координаты точек и , то координаты вектора получаются вычитанием из координат его конца координат начала : или .

Следовательно, по формуле (4.5):

или

(4.7)

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

.

(4.8)

Длина вектора , заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками и вычисляется по формуле:

.

(4.9)

Если и коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

(4.10)

Пусть точка делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки выражается через радиусы-векторы и его концов по формуле: .

Отсюда получаются координатные формулы:

.

В частности, если точка делит отрезок пополам, то и , т.е. .