НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ

Рассматривается система, состоящая из одного основного и (n - 1) резервных элементов.

При условии, что отказы элементов независимы, отказ системы происходит только при отказе всех n элементов.

Структура системы

 

Случайная наработка до отказа:

 

(система работоспособна до тех пор, пока работоспособен хотя бы один элемент).

Поскольку отказ системы есть событие, которое заключается в одновременном появлении событий – отказах всех элементов, то

· вероятность отказа (ВО):

 

· вероятность безотказной работы (ВБР):

 

· математическое ожидание (МО) наработки до отказа:

 

При идентичных элементах системы, т. е. P1(t) = … = Pn(t)

· ВБР:

· ВО:

· МО наработки до отказа:

Для системы с экспоненциальной наработкой до отказа каждого из n элементов:

Pi(t) = exp(- i t),

где i = const показатели безотказности:

 

Таким образом, при нагруженном резервировании экспоненциальное распределение наработки до отказа не сохраняется.

При идентичных n элементах системы МО наработки до отказа:

 

При большом n (n ), T 1/ ·( ln n + c), где c = 0.577….

При неидентичных элементах:

 

Для системы с n идентичными элементами P1(t) = … = Pn(t) решаются задачи оптимизации (в различных постановках).

1. Определение числа n элементов системы, при котором вероятность отказа (ВО) системы Qс(t) не будет превосходить заданной Qс.

Поскольку Qс(t) = Qin(t), то условие задачи

Qin(t) Qс(t).

Из приведенного неравенства определяется минимально необходимое число элементов:

 

2. Определение надежности n элементов системы из условия, чтобы ВО не превышала заданную .

Из условия Qin(t) Qс(t), находим ВО I и ВБР Pi(t) 1 - Qi(t).

Надежность систем с ограничением по нагрузке

Для некоторых систем условия работы таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы, по меньшей мере, r элементов из n были работоспособны.

Т. е. число необходимых рабочих элементов – r, резервных – (n - r).

Отказ системы наступает при условии отказа (n – r + 1) элементов.

Если при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа, то отказы можно считать независимыми.

ВБР такой системы определяется с помощью биномиального распределения.

Для системы, сохраняющей работоспособность при функционировании r из n элементов, ВБР определяется как сумма r, (r + 1), … , (n – r) элементов:

 

где

Для идентичных элементов с экспоненциальной наработкой Pi(t) = exp(- i t), i = const (1 = … = i = … = n) ВБР:

 

Зависимость надежности системы от кратности резервирования

При целой кратности k (r = 1, n = k + 1) для системы с идентичными элементами и экспоненциальной наработкой до отказа:

ВБР системы: Pс(t) = 1 – (1 - exp(- t))k+1;

ПРО системы: fс(t) = - dPс(t)/ dt = (k + 1) (1 - exp(- t))k exp(- t);

ИО системы:

Полагая элементы системы высоконадежными, т. е. t << 1 (P(t) 1 - t), получены упрощенные выражения:

ВБР системы: Pс(t) 1 – ( t))k+1;

ПРО системы: fс(t) (k + 1) k+1 tk;

ИО системы:

но поскольку t << 1, то (t)k+1 0, поэтому ИО системы:

с (t) (k + 1) k+1 tk = n · n · tn-1,

где n = k + 1.

Полученное выражение с (t) свидетельствует о том, что при = const элементов, ИО системы зависит от наработки, т. е. распределение наработки до отказа системы не подчиняется экспоненциальному распределению.

На рис. 10.1 приведены зависимости изменения Pс( t) и с / ( t).

 

Рис. 10.1

Из рисунка следует, что:

· увеличение кратности резервирования k повышает надежность (Pс возрастает, с / 0);

· резервирование наиболее эффективно на начальном участке работы системы (при t T0).

Из графика с / ( t) видно, что при t = (3 4)T0 = (3 4) 1/ , с приближается к .

Поскольку средняя наработка до отказа системы при идентичных элементах ( = const):

 

то выигрыш в средней наработке T снижается по мере увеличения кратности резервирования.

Например,

при k = 1; T = T0·(1 + 1/2) = 3/2T0 (увеличение Tна 50 %);

при k = 2; T= T0·(1 + 1/2 + 1/3) = 11/6T0 (увеличение Tна 83 %);

при k = 3; T= 25/12T0 (увеличение Tна 108 %).

Таким образом, динамика роста T составляет: 50, 33 и 25%, т. е. уменьшается.

 

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются системы с нагруженным резервированием с целой и дробной кратностью? Привести расчетные выражения показателей безотказности?

2. Какой закон распределения наработки до отказа будет у системы с нагруженным резервированием, если законы распределения наработки до отказа составляющих ее элементов – экспоненциальные?

3. Какие задачи оптимизации решаются и в чем они состоят для систем с нагруженным резервом?

4. Как определяется вероятность безотказной работы системы с нагруженным резервированием и дробной кратностью?

5. При каких условиях наиболее эффективно применение нагруженного резервирования?

 


 








Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 1161;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.