Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Произведение двух комплексных чисел = и есть комплексное число, определяемое формулой = , или = .

Как видим, при перемножении модули комплексных чисел умножаются, а аргументы складываются.

Частное от деления комплексного числа = , на комплексное число есть комплексное число, определяемое формулой = , или = .

При делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень.Если целое число, то или .

При возведении в степень комплексного числа возводится в эту степень его модуль, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня.Если целое число, то корень из комплексного числа извлекается по формуле = , или = , где .

Итак, чтобы извлечь корень -ой степени из комплексного числа, нужно извлечь арифметический корень этой степени из модулю, а его общее значение аргумента разделить на степень корня. Следовательно, извлечение корня комплексного числа – действие многозначное. Корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений.

Пример 3. Найти .

Решение.Найдем модуль и аргумент комплексного числа .

= = =2.

= . И так как, точка , соответствующая числу расположена в первой четверти (см. рис. 1.4), то . Следовательно, = . Тогда, = = = = . = .

Пример 4. Дано комплексное число . Требуется: 1). Записать число в алгебраической и тригонометрической форме. 2). Найти все корни уравнения .

а). Запишем в алгебраической форме = = = = .

Запишем в тригонометрической форме =2, . И так как точка , соответствующая числу = расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5), то ( т.к. ). Следовательно, .

б). Решим уравнение . .

Запишем число = в тригонометрической форме. Модуль числа равен =2, а его аргумент определяем из равенства и так как точка , соответствующая числу расположена в третьей четверти (см. рис. 1.6), то ( т.к. ). Следовательно, в тригонометрической форме . Поэтому = , где .

При = = .

При = = = .

При = = = .