Уравнение провисания свободно подвешенного провода

Глава 14. Механические расчеты простых и цепных контактных подвесок

Уравнение провисания свободно подвешенного провода

Если провод с постоянной площадью сечения подвесить между двумя точками, расположенными на одном уровне, то под действи­ем равномерно распределенной по его длине нагрузки от веса про­вод примет очертание цепной линии (рис. 14.1). Жесткость прово­дов и тросов сказывается только при небольших (порядка нескольких метров) расстояниях между точками их провеса. В боль­ших пролетах жесткостью проводов и тросов пренебрегают и рас­сматривают их как гибкие нити.

Расстояние по горизонтали между точками подвеса А и В назы­вают пролетом и обозначают буквой l. Расстояние по вертикали в середине пролета между проводом и прямой А В, соединяющей точки подвеса, называют стрелой провеса и обозначают буквой f. Обе величины измеряют в метрах.

Усилие, действующее вдоль провода, называют натяжением и обозначают буквой Т. Натяжение в проводах, рассматриваемых

Рис. 14.1. Провисание провода в пролете: а — цепная линия; б — парабола

как гибкие нити, которые не могут воспринимать изгибающие моменты, обусловлено только растяжением и направлено по каса­тельной и кривой провисания нити в рассматриваемой точке про­лета. Натяжение в низшей точке кривой провисания проводов бу­дет направлено горизонтально, его обозначают буквой Н.

При расчетах гибких нитей с малыми стрелами провеса счита­ют, что вертикальная нагрузка распределена равномерно не по длине самой нити (см. рис. 14.1, а), а по горизонтальной проекции нити (см. рис. 14.1, б); нить с такой нагрузкой провисает по пара­боле. Такое допущение вызывает малые погрешности и в то же время дает возможность значительно упростить расчет.

Натяжение провода Г изменяется в пролете от наименьшего зна­чения Т = Н в низшей точке провеса провода до наибольшего зна­чения у опор, равного

Провода и тросы контактных сетей железных дорог представ­ляют собой гибкие нити, имеющие малые стрелы провеса по отно­шению к длине пролета. В таких нитях значение максимального натяжения Т мало отличается от натяжения нити Н. Если, напри­мер, f / l = 1/40, то разница в натяжении будет составлять всего 0,5 %. Поэтому при расчете нитей с малыми стрелами провеса (их еще иногда называют пологими нитями) часто считают, что натя­жение нити постоянно и равно Н.

Силу, действующую на единицу площади сечения провода, на­зывают напряжением и обозначают буквой а. Согласно определе­нию а = HIS (здесь 5 — площадь сечения провода).

Представим гибкую нить с опорами, расположенными на одном уровне, нагруженную произвольной вертикальной нагрузкой, распре­деленной по длине горизонтальной проекции нити (рис. 14.2, а). По­казанные на этом рисунке реакции определим на основании урав­нений статики. Так, сумма проекций всех сил на горизонтальную ось ∑_х = Н_А + Н_в = 0, откуда следует Н_А + Н_в - Н.

Рис. 14.2. Расчетные схемы гибкой нити: — нагруженной произвольной вертикальной нагрузкой; 6 — балочные реакции

Суммы моментов всех сил относительно опор В и А:

В этих уравнениях ∑М_qb и ∑М_qa. — моменты действу­ющих на нить всех внешних заданных сил q_x относитель­но опор В я А.

В случае определения реакций балки, показанной на рис. 14.2, б, нагруженной точно так же, как нить, и имеющей такой же пролет, получены такие же реакции. Таким образом, вертикальные состав­ляющие опорных реакций нити равны опорным реакциям в про­стой балке АВ, нагруженной точно так же, как заданная нить. По­добные реакции будем в дальнейшем называть балочными.

Рассмотрим некоторое сечение нити в точке С на расстоянии х от левой опоры. Ордината этого сечения равна у (см. рис. 14.2, а). Поскольку нить предполагается абсолютно гибкой, момент всех сил, действующих на нее по одну сторону от сечения, должен равняться нулю, т.е.

М_х - Ну = О,

где М_х — сумма моментов всех вертикальных сил (включая и опор­ную реакцию), расположенных левее сечения С;

Н — натяжение нити;

у — провес нити в точке С.

Момент М_х представляет собой не что иное, как изгибающий момент М_х в соответствующем сечении простой балки. Подобные моменты будем в дальнейшем называть балочными. Уравнение может быть переписано в виде М_х = Ну, откуда имеем

у = М_Х / Н.

Эта формула представляет уравнение провисания гибкой нити. С помощью этого уравнения можно найти провес нити в любом ее сечении, можно также оп­ределить натяжение нити, если известен ее провес в каком-то сечении:

H = М_х / у.

Рассмотрим одну из наиболее распространен­ных задач в теории гибких нитей — задачу об опреде­лении стрелы провеса и на-

Рис. 14.3. Расчетное схемы гибкой нити: а — нагруженной равномерно распределенной по пролету нагрузкой; б — балочные реакции

тяжения симметричной нити от нагрузки q, равномерно распреде­ленной по всему пролету (рис. 14.3, а). Для этого случая балочные реакции V_A и V_B равны (рис. 14.3, б), т.е. V_А - V_B = 0,5 q.

Балочный изгибающий момент М_х в сечении нити на расстоя­нии х от опоры А

Подставив это значение М_х, получим уравнение провисания(равновесия) свободно подвешенного провода:

Длина провода в пролете может быть определена по формуле длины параболы. Длина отрезка одной ветви параболы от верши­ны О до точки с координатами (х, у)

Для одной ветви параболы, изображенной на рис. 14.1, б, при = 0,5 l и у = f получим

длина обеих ветвей параболы, т.е. длина провода в пролете

В некоторых случаях пользуются формулой для определения длины провода, в которую входит не стрела/, а величины q и Н:

Выражение для расчета натяжения свободно подвешенного провода у опор: