Движение тела в вязкой жидкости

На всякое тело, двигающееся в вязкой жидкости, действует сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от внутреннего трения жидкости, от формы тела, от характера обтекания и т.д. Стоксом было получено строгое решение задачи о ламинарном обтекании шарика безграничной жидкостью. В этом случае сила сопротивления определяется формулой Стокса:

¦ = 6phr×v (5)

где h–коэффициент внутреннего трения, v–скорость шарика, r–его радиус.

Гидродинамический вывод формулы Стокса сложен. Поэтому мы ограничимся анализом задачи с помощью теории размерностей.

Прежде чем применять теорию размерностей,нужно на основании физических соображений и опыта установить, от каких параметров может зависеть сила сопротивления жидкости. В нашем случае, очевидно, такими параметрами являются h, v, r и плотность жидкости r _ж.

Искомый закон следует искать в виде степенного соотношения:

¦=Av^ah^xr^yr^z_ж (6)

где A– безразмерный множитель, а a, x и y – подлежащие определению показатели степени.

Выбор показателя степени определяется из того требования, что размеренности левой и правой частей должны совпадать. Поскольку размерность выражения определяется степенями при длине, времени и массе,мы получаем три уравнения для нахождения четырех неизвестных a, x, y, z. Легко видеть, что поставленная задача однозначного решения не имеет. Опыт показывает, что при больших скоростях движения (точнее говоря, при больших числах Рейнольдса) сила сопротивления пропорциональна второй, а при малых скоростях (малых числах Рейнольдса) – первой степени скорости. При достаточно медленном движении, таким образом, a=1. Приравнивая показатели степени при массе, длине и скорости в левой и правой частях уравнения, получим:

1=x+z, 1=–x+1+y–3z, –2=–x–1,

откуда x=1, y=–1, z=0.

Таким образом ¦=Ahr×v

Безразмерный множитель А не может быть определен из соображений размерности; строгое решение задачи дает для этого множителя значение 6p.