Уравнение волны

Пусть некоторая точка O участвует в гармоническом колебательном движении с амплитудой и круговой (циклической) частотой ω. Тогда её смещение от положения равновесия можно описать уравнением:

(1)

Колебания, распространяясь в среде, дойдут до точки A, рис. 2 лежащей на расстоянии r от точки O, через время

. (2)

Скорость υ имеет положительный знак, если направление скорости совпадает с направлением оси r и – отрицательной, если скорость направлена против оси.

Если волна идёт не затухая от точки O в сторону точки A, отстоящей от O на расстояние r, то смещение точки A определяется по формуле (1), но в новый более поздний момент времени (новая точка придёт в колебание с некоторым запаздыванием на время ), тогда

учитывая (2), получим:

(3)

Выражение (3) представляет собой уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль прямой OA, которое ещё иначе называется уравнением плоской бегущей волны. Оно определяет для любого момента времени t отклонение от положения равновесия колеблющихся частиц .

Учтём известные соотношения

где ν – частота, – период колебания.

И тогда можно записать:

Выражение (3) можно преобразовать к виду:

или

Звуковые волны могут интерферировать.

Рассмотрим случай интерференции двух волн одинаковой частоты, длины и амплитуды, распространяющихся в противоположных направлениях. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате интерференции волны падающей и волны отражённой возникает так называемая стоячая волна. Выведем уравнение стоячей волны.

Падающая (бегущая) волна, распространяющаяся по направлению оси r, описывается уравнением:

а отражённая

В скобке (–) поменялся на (+) за счет того, что у скорости отражённой волны поменялось направление на противоположное (отражённая волна движется против оси r).

Уравнение стоячей волны получится при сложении уравнений бегущеё и отражённой волн:

Вынося общий множитель а и используя формулу суммы двух косинусов, находим:

, т.к.

то .

Уравнение стоячей волны запишется:

(4)

В этом уравнении множитель

не зависящий от времени, выражает результирующую амплитуду A

(5)

Так как функция может принимать значения в пределах от нуля до единицы, то точки в стоячей волне, для которых

(6)

будут иметь наибольшую амплитуду: . Такие точки стоячей волны называются пучностями, их координаты определяются из равенства (6)

откуда

, (7)

где

Точки, для которых , имеют амплитуду, равную нулю и называются узлами стоячей волны. Их координаты находятся из условия

, откуда (8)

Из отношений (7) и (8) следует, что расстояние между соседними узлами (или соседними пучностями) в стоячей волне равно . Из (5) следует, что амплитуда стоячей волны зависит от координаты r колеблющейся точки, т.е. у разных точек среды разные амплитуды, чего в бегущей волне не наблюдается.

В уравнении стоячей волны множитель при переходе через нулевое значение меняет знак, в соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на , т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе, а все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т.е. в одной и той же фазе).

На рис. 4 дан ряд моментальных фотографий отклонений точек от положения равновесия. Первая соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие рисунки сделаны с интервалами в четверть периода.

Вторая соответствует одновременному прохождению частиц через положение равновесия. Третья фотография соответствует одновременному отклонению частиц, но в другую сторону (стрелками показаны скорости частиц).

Рассмотрим несколько примеров колебаний сплошных систем. В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причём в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз. Отсюда вытекает условие

или (9)

где – длина струны, а

Подобным образом можно рассматривать собственные колебания столба воздуха, заключённого в трубе с открытыми концами. В этом случае на концах образуется пучности стоячей волны, т.к. отражаясь от менее плотной среды волна не меняет фазы в месте отражения. Как и в предыдущем случае на всей длине столба воздуха уложится целое число

где

В системе с неодинаковыми условиями отражения волн на концах, например, в воздушном слое трубы, закрытой только у одного конца, также можно возбудить собственные колебания. Стоячие волны в этом случае имеют на открытом конце пучность, а на закрытом – узел стоячей волны. На всей длине столба воздуха уложится или , или , или , и т.д., т.е. длины стоячих волн, устанавливающихся в воздушном столбе, открытом с одного конца, должны удовлетворять условию:

, где (10)

Случай возникновения стоячей волны в столбе воздуха используют для нахождения частоты этих колебаний.

(11)

Источником звука в данной работе служит звуковой генератор. Для определения длины волны издаваемого генератором звука, пользуются стоячими волнами, образующимися в стеклянной трубке, которая закрыта с одного конца подвижной преградой. Если у открытого конца трубы поместить телефон, соединённый с генератором звука, то колебания его мембраны передаются воздушному столбу в трубке. Воздушный столб будет резонировать только в том случае, если период его собственных колебаний совпадает с периодом колебаний звука, издаваемого генератором (явление резонанса). Звуковая волна от телефона, размещённого у открытого конца трубки, распространяясь по воздуху, дойдёт до преграды, находящейся на втором конце трубки, поменяет фазу на противофазу и пойдёт навстречу бегущей волне. Бегущая и отражённая волны создадут стоячую волну. У поверхности преграды всегда образуется узел, у открытого конца трубки – пучность. В зависимости от высоты воздушного столба, а также от частоты колебаний мембраны в трубке расположится то или иное число узлов и пучностей стоячей волны. Звук мембраны усиливается, когда она оказывается в пучностях стоячей волны. Длина самого короткого воздушного столба, которая резонирует мембране телефона, имеет узел у преграды и пучность у открытого конца трубки; следовательно, длина его равна четверти длины звуковой волны в воздухе. Если трубка достаточно длинная, то резонанс в трубке может повториться, когда высота столба воздуха будет равна трём, пяти или другому нечётному числу четвертей длины звуковой волны в воздухе. Необходимо заметить, что у открытого конца трубки всегда имеется некоторое смещение пучностей. Чтобы учесть его, при измерении вводят так называемую поправку на открытый конец, которая не зависит от длины волны и равна приблизительно 0,6R, где R – радиус трубки. Если – длина первого, самого короткого столба воздуха, дающего резонанс; – длина второго, то