Разложение многочленов на простые сомножители.

Пусть многочлен, коэффициенты которого a₀, a₁, …, a_n есть комплексные числа, переменная x может принимать любые комплексные значения. Число

называется значением многочлена f(x) при x=c (или в точке x=c). Если f(c) = 0, то число x=c называют нулём многочлена f(x) или корнем уравнения f(x) = 0. Впрочем, часто говорят, что x=c является корнем многочлена f(x), если f(c) = 0.

При делении многочлена f(x) на многочлен первой степени x-c получают остаток, который может быть многочленом только нулевой степени. т.е. каким-то комплексным числом. В дальнейшем обозначаем его символом r.

Теорема (Безу).Остаток от деления многочлена f(x) на x-c равен значению f(c) многочлена f(x) для x=c.

Доказательство. В самом деле, пусть f(x) = (x - c)g(x) + r. Положим x=c. получим f(c) = (c - c)g(c) + r = r. Откуда и следует r = f(c).

Из теоремы Безу вытекает важное следствие: Для того, чтобы число с было нулём многочлена f(x), необходимо и достаточно, чтобы f(x) делился на х – с (т.е. r было равно 0).

Пусть f(x) есть многочлен степени n, n ³ 1, с комплексными или действительными коэффициентами.

Если x=c нуль этого полинома, то f(c) = 0 и f(x) делится на x-c. Может быть так. что f(x) делится не только на x-c, но и на (x-c)², (x-c)³ и т.д. Во всяком случае найдётся такое натуральное число k, что f(x) будет делиться на (x-c)^k, но уже не делится на (x-c)^k+1.

Тогда

где многочлен j(x) уже не делится на (x-c), т.е. число c не является нулём j(x). Число k называют порядком кратности нуля с, а само с называют k-кратным нулём многочлена f(x). Если k=1, то нуль с называют простым. Справедлива следующая основная теорема алгебры: Всякий многочлен с комплексными коэффициентами степени не ниже первой (n ³ 1) имеет, по крайней мере, один нуль (действительный или комплексный).

Известно несколько способов доказательства этой теоремы, но все они используют материал и приёмы, нами ещё неизученные. Поэтому принимаем пока эту теорему без доказательства.

Теорема находит применения в разных областях науки. В частности, она служит базой для разложения многочлена с числовыми коэффициентами на множители. Эта одна из основных причин названия этой теоремы основной теоремой алгебры.

Итак, теорема гарантирует существование нуля c₁ (действительного или комплексного) у многочлена f(x). Тогда многочлен f(x) может быть записан в виде f(x) = (x-c₁) j(x). j(x) тоже есть многочлен степени n-1 с действительными или комплексными коэффициентами. По этой же теоремы j(x) имеет нуль с₂, так что f(x) = (x-c₁) j(x).

Продолжая этот процесс, мы придём после n «шагов» к представлению многочлена f(x) степени n в форме произведения n линейных множителей

(4)

Произведение линейных множителей в (4) умножено на a₀ (коэффициент старшего члена f(x)). Если бы это было другое число b, то раскрытие скобок, приведение подобных членов справа в (4) дало бы старший член многочлена f(x) в виде bxⁿ, а не a₀xⁿ, чего быть не должно. Итак, b=a₀.

Представление многочлена f(x) в форме произведения (4) является единственным с точностью до порядка сомножителей.

С учётом кратностей корней, группируя одинаковые сомножители, произведение (4) можно переписать в виде

(5)

где k₁ + k₂ + … +k_m = n. В (5) уже предполагается, что все нули c₁, c₂, …, c_m разные.

Рассмотрим теперь многочлены с действительными коэффициентами.

Пусть f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + …+ a_n, где a₀, a₁, …, a_n – действительные числа.

Пусть x=c нуль (вообще говоря, комплексный), т.е.

Возьмем сопряжение от обеих частей равенства (6). Учитывая действительность коэффициентов a₀, a₁, …, a_n и 0

в правой части, справедливость равенств: (предлагаем проверить их самостоятельно), получим равенство

или f ( ) = 0.

Итак, если комплексное число (не действительное!) c является нулём полинома f(x) с действительными коэффициентами, то сопряженное число тоже является его нулём. Очевидно кратности нулей с и совпадают.

Как следствие, отсюда вытекает утверждение: многочлен f(x) делится на многочлен второй степени с действительными коэффициентами.

Если же с и являются k – кратными нулями f(x), то f(x) делится на

Из общего разложения (5) и фактов, касающихся многочленов с действительными коэффициентами, следует такой окончательный вывод.Всякий многочлен f(x) с действительными коэффициентами может быть представлен единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) в виде произведения коэффициента а₀ старшего члена, многочленов с действительными коэффициентами первой степени вида x-c, соответствующими действительным нулям f(x), многочленов второй степени с действительными коэффициентами вида (7), соответствующими парам сопряжённых комплексных нулей f(x).

Как следствие, всякий многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, т.е.

где k₁ + k₂ + … + k_j + 2m₁ + … + 2m_j = n.