Дадим определение линейного пространства.

Лекция 8. Линейное преобразование вектора, запись в матричном виде. Собственные числа и собственные векторы матрицы, характеристическое уравнение. Решение характеристического уравнения. Нахождение собственных векторов в случае различных и кратных корней. Метод итераций для определения наибольшего собственного числа.

Линейные пространства.

Дадим определение линейного пространства.

Пусть дано множество ; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: Пусть во множестве определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов из однозначно определенный элемент из , называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, причем произведение элемента на число однозначно определено и принадлежит к . Элементы множества будут называться векторами, а само – действительным линейным пространством, если указанные операции обладают следующими свойствами:

1. Сложение коммутативно, .

2. Сложение ассоциативно,

3. В V существует нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию: для всех из .

4. Для всякого элемента в существует противоположный элемент - , удовлетворяющий условию: .

Дальнейшие аксиомы связывают умножение на число со сложением и с операциями над числами. Именно, для любых элементов из , для любых действительных чисел и для действительного числа 1 должны иметь место равенства.

5.

6.

7.

8.