Включение в модель регрессии фактора времени

В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием широко используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной.

Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения у, и х, есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК. Расчет и интерпретацию параметров покажем на примере.

Пример 6.3. Построение модели регрессии с включением фактора времени.

Вернемся к данным предыдущих примеров. Построим уравнение регрессии, описывающее зависимость расходов на конечное потребление у, от совокупного дохода х, и фактора времени. Для расчета параметров уравнения регрессии воспользуемся обычным МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

Подставив требуемые суммы, получим:

Решая эту систему, получим уравнение регрессии . Коэффициент детерминации составит , что означает, что данное уравнение достаточно точно описывает реальный процесс. Найдём значение , то есть, корреляцию между признаками без учёта фактора времени, используя матрицу парных коэффициентов корреляции , получаем =0,694398. Коэффициент детерминации равен Можно сделать вывод, что при использовании фактора времени уравнение достаточно точно описывает реальный процесс.

Проведем сравнительный анализ полученных результатов. Метод отклонения от тренда дает коэффициент детерминации , метод последовательных разностей , при использовании фактора времени . Следовательно, в данном случае метод последовательных разностей показал самую слабую связь между временными рядами.

Автокорреляция в остатках.

Критерий Дарбина-Уотсона.

Рассмотрим уравнения регрессии вида , где - число независимых переменных модели. Для каждого момента времени . Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить их зависимость от времени. Если каждое следующее значение зависит от предыдущих то это указывает на наличие автокорреляции в остатках.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во вторых, в ряде случаях причину автокорреляции остатков искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное влияние на результат, воздействие которого отражается в остатках.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина-Уотсона. И расчёт величины . Значение этого критерия табулировано. Покажем связь между коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка, который определяется по формуле , где и . Так как остатки то можно предположить и . С учётом этих предположений . Преобразуем формулу для расчёта критерия Дарбина-Уотсона .

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то , следовательно . Если автокорреляция остатков отсутствует то и . Следовательно . Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной и отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа переменных в модели и уровня значимости . По этим значениям разбивают числовой промежуток на пять отрезков. Принятие и отклонения каждой из гипотез рассматривается в таблице

Есть положительная автокорреляция остатков. отклоняется, принимается .	Зона неопределённости	Нет оснований отклонять гипотезу . Автокорреляция остатков отсутствует.	Зона неопределённости	Есть отрицательная автокорреляция остатков. отклоняется, принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределённости, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу

Пример. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.

		6,425	-0,425	0,180625
	4,4	4,225	0,175	0,030625	-0,6	0,36
		4,975	0,025	0,000625	0,15	0,0225
		9,075	-0,075	0,005625	0,1	0,01
	7,2	7,175	0,025	0,000625	-0,1	0,01
	4,8	4,975	-0,175	0,030625	0,2	0,04
		5,725	0,275	0,075625	-0,45	0,2025
		9,825	0,175	0,030625	0,1	0,01
		7,925	0,075	0,005625	0,1	0,01
	5,6	5,725	-0,125	0,015625	0,2	0,04
	6,4	6,475	-0,075	0,005625	-0,05	0,0025
		10,575	0,425	0,180625	-0,5	0,25
		8,675	0,325	0,105625	0,1	0,01
	6,6	6,475	0,125	0,015625	0,2	0,04
		7,225	-0,225	0,050625	0,35	0,1225
	10,8	11,325	-0,525	0,275625	0,3	0,09
				1,01		1,22

Значение критерия Дарбина-Уотсона равно .

Сформулируем гипотезы:

- в остатках нет автокорреляции;

- в остатках есть положительная автокорреляция;

- в остатках отрицательная автокорреляция.

Зададим уровень значимости . По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений и числа независимых переменных критические значения и . Так как расчётное значение критерия больше и меньше то есть попадаем в критическую область , следовательно есть незначительная положительная автокорреляция.