Потоки Эрланга
Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.
Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.
Определение. Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую – ю точку, а остальные выбросить.
Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.
Пусть имеется простейший поток с интервалами между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.
Очевидно, что . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины распределены по показательному закону:
Обозначим плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t- . На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток .
Вероятность первого события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.
;
Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k- го порядка.
При получаем показательный закон распределения.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:
Плотность потока Эрланга равна
Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.
Закон распределения для такого потока будет иметь вид:
;
Математическое ожидание и дисперсия будут равны:
Следовательно, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .
Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.
На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 893;