Свойства дисперсии
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
.
Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.
Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и вероятность непоявления события в каждом испытании:
.
Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96.
Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.
Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что
Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то
Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
По формуле дисперсии биноминального закона получаем:
;
Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно ; ; . Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.
Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.
Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .
1) Не отказал ни один прибор:
2) Отказал один из приборов:
0,302.
3) Отказали два прибора:
4) Отказали три прибора:
5) Отказали все приборы:
Получаем закон распределения:
0,084 | 0,302 | 0,38 | 0,198 | 0,036 |
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Определение.Средним квадратическим отклонениемслучайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
.
Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:
.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 777;