Экстремум функции нескольких переменных
Определение. Пусть функция определена в некоторой области , и - произвольная точка этой области. Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство:
то точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции в области .
Определение.Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками экстремума этой функции.
Теорема.(Необходимые условия экстремума). Пусть функция непрерывна в некоторой области вместе со своими первыми частными производными. Если во внутренней точке области функция имеет экстремум, то в этой точке обращаются в ноль все её частные производные первого порядка:
.
Эта точка называется критической точкой функции в области .
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
1) Если , то в точке функция имеет экстремум, если - максимум, если - минимум.
2) Если , то в точке функция ) не имеет экстремума
В случае если , вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 473;