Свойства скалярного произведения векторов

Назовем углом между двумя ненулевыми векторами в пространстве наименьший из двух углов, определяемых ими.

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними. Обозначение: или , т.е.

где Если или , то, по определению,

Из определения скалярного произведения следует:

1) скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

2) скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны; действительно, если

то т.е. и наоборот.

Ортогональная проекция вектора на направление вектора равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора . Действительно, по определению, проекция вектора на направление вектора есть число, равное длине отрезка , взятой со знаком +, если и со знаком -, если где и - проекции начала А и конца В вектора на прямую . Пусть , , . Из DАВК находим: , так как при а при Умножая обе части на получим:

.

Теорема. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1) 2) 3)

Доказательство. 1) Из четности функции косинус следует

2) Из свойств проекции следует

.

Умножая обе части этого равенства на , получим свойство 2).

Если т.е. то углы между l и , и будут совпадать с углом между и , т.е.

Если же т.е. то Имеем:

Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Доказательство. Пусть

Из свойств скалярного умножения следует, что при скалярном умножении можно пользоваться правилом умножения многочлена на многочлен. Так как

то

Следствие. Скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат:

В частности, расстояние между двумя точками и определяется формулой:

,

так как . Следовательно, расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если

10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 ,

т.к. .

Пример. Найти угол между векторами и , если

, т.е. . Имеем

× = 6 + 8 – 6 = 8:

Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2 )×(5 - 6 ), если Имеем (3 - 2 )×(5 - 6 )=

=15 × - 18 × - 10 × + 12 × = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. При каком векторы и перпендикулярны.

; .