Элементы векторной алгебры
Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры
Элементы векторной алгебры
1. Определение вектора. Линейные операции над векторами
Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором.
Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.
Определение. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .
Определение. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ïê .
Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ( ¯ ).
Определение. Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если , ï ï=ï ï.
Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов:
1) , 2) , 3) и .
Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .
Определение. Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора .
Обозначение:
.
Для двух векторов и указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма.
Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.
Определение. Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:
Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е.
= , = .
Справедливы следующие свойства умножения вектора на число:
1) =l +l ; 2) =l +m ; 3) l = ,
справедливые для любых чисел и любых векторов , .
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 714;