Типы неравенств и способы их решения. Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.
I тип: неравенство вида
(6.16)
где a > 0.
1. Если 0 < a < 1, то неравенство (6.16) равносильно системе
(6.17)
2. Если a > 1, то неравенство (6.16) равносильно системе
Заметим, что в этом случае первое неравенство системы (6.17) можно не решать, так как во втором неравенстве 
(6.18)
Решение неравенства (6.18) сводится к решению совокупности двух систем:
Неравенство f(x) > 0 во второй системе можно не решать, так как оно справедливо при выполнении двух других неравенств этой системы.
II тип: неравенство вида
(6.19)
1. Если 0 < a < 1, то неравенство (6.19) равносильно системе
(6.20)
Неравенство g(x) > 0 в системе (6.20) можно не решать, так как оно выполняется при условии выполнения двух других неравенств этой системы.
2. Если 
то неравенство (6.19) равносильно системе
(6.21)
Неравенство 
в системе (6.21) можно не решать.
(6.22)
Поскольку в основании содержится переменная величина, то в общем случае решение неравенства (6.22) зависит от величины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем совокупность двух систем:
III тип: неравенство вида
(6.23)
где F – некоторое выражение относительно 
Необходимо заменить 
и решить неравенство F(y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенства промежутки записывают в виде неравенств относительно y, а затем возвращаются к старой переменной.
Аналогично решают неравенства I – III типов, в которых вместо знака > использованы знаки ³, <, £.
Пример 1. Решить неравенство 
Решение. Имеем неравенство I типа. Так как основание логарифма меньше числа 1, то решение неравенства сводится к решению системы
Используем далее метод интервалов (рис. 6.13).
| –1 |
| х |
| –2 |
| х |
Рис. 6.13
Получаем ответ: 
Пример 2. Решить неравенство 
Решение. Данное неравенство относится к I типу. Поэтому решаем совокупность двух систем
Первая система решений не имеет. Решаем вторую систему
Второе неравенство этой системы не решаем, так как оно справедливо, если выполняется последнее неравенство. Получаем:
Используем метод интервалов (рис. 6.14).
| –3 |
| х |
| х |
| –1 |
| х |
Рис. 6.14
Получаем ответ: 
Пример 3. Решить неравенство 
Решение. Это неравенство II типа, причем основание логарифма больше числа 1. Поэтому решаем систему
Получаем 
Подводя итог, приходим к ответу: 
Пример 4. Решить неравенство 
Решение. Имеем неравенство III типа.
Заменяем 
и решаем кубическое неравенство
Разлагаем левую часть неравенства на множители:
Используем далее метод интервалов (рис. 6.15).
| х |
| –1 |
| –2 |
Рис. 6.15
Получили решение 
Записываем его в виде:
Возвращаемся к неизвестной x и с учетом ОДЗ заданного неравенства имеем:
Получаем ответ: 
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 907;