Графики тригонометрических функций

При рассмотрении графиков тригонометрических функций предполагается, что числовойаргумент представляет угол, измеренный в радианах.

Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется синус этого числа, называют функцией синус и обозначают

Свойства функции приведены в табл. 7.3.

Графиком функции является кривая, называемая синусоидой (рис. 7.7).

Рис. 7.7

Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется косинус этого числа, называют функцией косинус и обозначают

Свойства функции приведены в табл. 7.3.

Графиком функции является кривая, называемая косинусоидой (рис. 7.8).

Рис. 7.8

Соответствие, при котором каждому действительному числу сопоставляется тангенс этого числа, называют функцией тангенс и обозначают

Свойства функции приведены в табл. 7.3.

Графиком функции является кривая, называемая тангенсоидой (рис. 7.9).

Рис. 7.9

Соответствие, при котором каждому действительному числу сопоставляется котангенс этого числа, называют функцией котангенс и обозначают

Свойства функции приведены в табл. 7.3.

Т а б л и ц а 7.3

Свойства функции	Функция
1. Область определения функции	R	R
2. Область значений функции	[–1; 1]	[–1; 1]	R	R
3. Четность / нечетность	нечетная	четная	нечетная	нечетная
4. Наименьший положительный период	2p	2p	p	p
5. Координаты точек пересечения графика:
с осью Ox
c осью Oy	(0; 0)	(0; 1)	(0; 0)	нет
6. Промежутки возрастания функции				нет
7. Промежутки убывания функции			нет
8. Экстремумы функций:
точки минимума			нет	нет
минимум функции	–1	–1	нет	нет
точки максимума			нет	нет
максимум функции			нет	нет
9. Промежутки знакопостоянства функции:
промежутки, на которых функция принимает положительные значения
промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения

График функции приведен на рис. 7.10.

Рис. 7.10

Пример 1.Найти область определения функции

Решение. Должно выполняться неравенство

т. е.

Таким образом, D(у):

Пример 2.Найти область значений функции

Решение.Используя формулу двойного угла для синуса, получим:

Так как функция ограничена, то тогда

и

Таким образом,

Пример 3.Выяснить, является ли функция у(х) четной или нечетной.

Решение.Функцию можно исследовать на четность или нечетность, если область определения функции является симметричным относительно нуля множеством и выполняется одно из равенств. В данном случае - симметричное относительно нуля множество. Рассмотрим

В силу четности косинуса и нечетности синуса, получим:

Таким образом, выполняется Следовательно, данная функция является нечетной.

Пример 4.Сравнить числа и

Решение.Используем свойство монотонности функции y = cos x на определенных промежутках. Углы и принадлежат отрезку на котором функция y = cos x убывает, и при этом Используя свойство убывающей функции, по которому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, приходим к ответу:

Пример 5.Найти наименьший положительный период функции

Решение.Преобразуем

Используя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получим функцию график которой получается из графика функции y = cos x с периодом Воспользуемся правилом нахождения периода Т' функции, полученной путем некоторых преобразований периодической функции y = cos x с периодом

Таким образом, наименьший положительный период функции а значит и функции равен p.

Пример 6.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение. Используем формулу приведения и формулу преобразования суммы функций в произведение:

Так как то

Таким образом, а

Пример 7.Построить график функции

Решение. Для построения будем использовать правила преобразования графика элементарной функции параллельный перенос вдоль осей Ох и Оу, сжатие и растяжение графика функции.

Рассмотрим последовательность преобразований, позволяющих из графика функции получить график функции

Для начала преобразуем данную функцию следующим образом:

Выполним построение поэтапно.

1. График функции может быть получен из графика путем растяжения вдоль оси Оу в 2 раза (рис. 7.11).

Рис. 7.11

2. График функции может быть получен из графика функции путем сжатия вдоль оси Ох в 2 раза (рис. 7.12).

Рис. 7.12

3. График функции может быть получен из графика путем параллельного переноса вдоль оси Ох на единиц вправо (рис. 7.13).

Рис. 7.13

4. График получаем из графика путем параллельного переноса вдоль оси Оу на 3 единицы вверх (рис. 7.14).

Рис. 7.14