Системы дифференциальных уравнений и уравнения высших порядков

Система дифференциальных уравнений m –го порядка имеет вид:

(27.5)

Для решения системы на отрезке [x₀,x_n] должны быть заданы начальные условия: y1(x₀)=y₁⁰ , y2(x₀)=y₂⁰ , … ym(x₀)=y_m⁰ . Решением системы m-го порядка будут m функций, удовлетворяющих начальным условиям. Чтобы определить эти функции можно использовать метод Эйлера или Рунге-Кутта (или любой другой метод), применяя их к каждому уравнению последовательно.

Уравнения высших порядков сводятся к системам дифференциальных уравнений путем введения новых переменных. Рассмотрим на примере

Пример. Требуется решить уравнение y²+2×y¢-y+4×x=5 на отрезке [1;1,3]. Начальные условия: y(1)=2 , y¢(1)=0 . Шаг h=0,1. Здесь шаг выбран большим, чтобы было проще продемонстрировать вычисления, сделанные вручную.

Введем новую переменную z=y¢. Тогда исходное уравнение записывается в виде системы двух уравнений первого порядка:

y¢=z

z¢=-2×z+y-4×x+5

Начальные условия: y(1)=1, z(1)=0. Решим данную систему методом Эйлера:

y(1,1)=2+0,1×0=2

z(1,1)=0+0,1×(-2×0+2-4×1+5)=0,3

x=1+0,1=1,1

y(1,2)=2+0,1×0,3=2,03

z(1,2)=0,3+0,1×(-2×0,3+2-4×1,1+5)=0,5

x=1,1+0,1=1,2

y(1,3)=2,03+0,1×0,5=2,08

z(1,3)=0,5+0,1×(-2×0,5+2,03-4×1,2+5)=0,623

x=1,2+0,1=1,3

Решение: x=1 y=2 z=0