Относительная флуктуация

. (1.10)

Если x случайным образом изменяется с течением времени, то относительная флуктуация показывает долю времени, в течение которой система находится в состоянии с .

Теорема: Относительная флуктуация аддитивной величины, характеризующей систему, уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем и для макроскопической системы она мала. Примером аддитивной величины (от лат. additivus – «прибавляемый») является энергия. Флуктуация энергии для макросистемы ничтожно мала, для микросистемы она существенна.

Доказательство

Аддитивная величина X для системы равна сумме значений x_k для N независимых подсистем

.

По свойству 2 усреднения – среднее от суммы равно сумме средних

– пропорциональна числу подсистем.

Отклонение от среднего

,

дисперсия

.

При возведении в квадрат и усреднении результата для перекрестных произведений учтено свойство 3 усреднения – среднее от произведения независимых величин равно произведению их средних

, ,

и использовано, что среднее отклонение от среднего равно нулю

.

Не равными нулю остаются квадраты величин. В результате флуктуация

.

Относительная флуктуация

(П.1.11)

уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем.

Производящая функция. Имеется случайная величина n, которая принимает дискретные значения в интервале . Вероятность получения результата n равна . Определяем производящую функцию

. (П.1.14)

Если известна производящая функция, то распределение вероятности получаем из (П.1.14)

, (П.1.15)

где использовано

Условие нормировки (1.6)

требует выполнения

. (П.1.16)

Для получения средних значений случайной величины дифференцируем (П.1.14)

,

и находим

. (П.1.17)

Двукратное дифференцирование (П.1.14)

дает

. (П.1.18)

Теорема о произведении производящих функций. Если происходят два независимых вида событий, которые описываются распределениями вероятностей с производящими функциями и , то распределение для суммы событий выражается произведением их производящих функций

. (П.1.19).

ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНой

НЕПРЕРЫВНой ВЕЛИЧИНы

Случайной непрерывной величиной является, например, проекция скорости молекулы газа, хаотически меняющаяся благодаря столкновениям.

Плотность вероятности. Пусть случайная величина x принимает непрерывные значения в некотором интервале. Вероятность обнаружения x в единичном интервалеоколо выбранного значения называется плотностью вероятности результата

. (1.11)

Аналогично определение скорости , которая является перемещением за единицу времени.

Вероятность получения результата в интервале равна

.

Пример: Пусть – скорость частицы идеального газа. Частицы движутся хаотически и при столкновениях меняют свои скорости. Вероятность обнаружения частицы со скоростью в интервале равна

,

где

– концентрация частиц со скоростями в интервале шириной ;

n – концентрация частиц со всеми скоростями;

плотность вероятности

– вероятность обнаружения частицы со скоростью в единичном интервале около значения v.

Условие нормировки для непрерывного распределения

. (1.12)