Двоичная арифметика

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение.Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110₂ и 11₂:

110₂

+

11₂

1001₂

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110₂=1*2² + 1*2¹+ 0*2⁰ = 6₁₀;

11₂ = 1*2¹ + 1*2⁰ = 3₁₀;

6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀.

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

1001₂ = 1*2³ +0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 9₁₀/

Сравним результаты – сложение выполнено правильно.

Вычитание.Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

0-0 =_0

0-1 =11

1-0 = 1

1-1 = 0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂ и 11₂:

110₂

-

11₂

11₂

Умножение.В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0 *0 = 0

0 *1 = 0

1 *0 =0

1 * 1 =1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел и:

110₂

_x

11_{2___}

110____

10010₂

Деление.Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110₂ и 11₂:

110₂ 11_{2___}

- 10₂

11

Контрольные вопросы:

1. Какая арифметика называется недесятичной?

2. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в двоичной системе счисления?

3. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в восьмеричной системе счисления?

4. Как производится сложение, вычитание, умножение, и деление в шестнадцатеричной системе счисления?