Затухающие электрические колебания

Каждый реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется на нагревание и излучение. Свободные колебания будут затухающими. Выражение закона Ома, написанное для цепи 1-3-2, изображенной на рис.18, имеет вид:

(69)

Разделив это уравнение на и учтя, , получим:

. (70)

Приняв во внимание, что , и введя обозначение , уравнению (70) можно придать следующий вид:

. (71)

Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих колебаний (32).

При условии, что решение уравнения (71) имеет вид:

, (72)

где

. (73)

Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .

Величину называют периодом затухающих колебаний, несмотря на то, что функция (72) не периодическая.

, (74)

где - период свободных незатухающих колебаний. Период затухающих колебаний больше периода собственных незатухающих колебаний. Зная зависимость можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре:

(75)

.

Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение , получим

.

Введя угол , определяемый условиями

, ,

можно написать

. (76).

Поскольку а значение заключено в пределах до . Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на (при опережение составляет ).

График функции (72) изображен на рис.19. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Затухание колебаний характеризуется рядом величин, рассмотренных нами при анализе затухающих механических колебаний (коэффициент затухания , время релаксации , логарифмический декремент затухания , добротность ). Если затухание мало ( ), то и. тогда

, (77)

. (78)

Есть ещё одна полезная формула для добротности в случае слабого затухания:

. (79)

где – энергия, запасенная в контуре, – уменьшение этой энергии за период .

В самом деле, энергия пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т.е. . Отсюда относительное уменьшение энергии за период . Учитывая, что , получаем формулу (79).

В заключение отметим, что при вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим:

. (80)