Рассмотрим пример

В группу артистов входят певцы, танцоры и музыканты.

При этом из них:

1) 9 человек певцы, 12- танцоры и 7 - музыканты;

2) 8 человек одновременно певцы и танцоры, 5 человек

певцы и музыканты, 6 являются танцоры и музыканты;

3) 4 человека одновременно певцы, танцоры и музыканты.

Тогда по формуле включений-исключений общее число людей в группе равно: 9 + 12 + 7 - 8 - 5 - 6 + 4 = 13.

Замечание. Справедливость формулы бинома Ньютона может быть установлена с помощью несложных комбинаторных рассуждений.

Выпишем очевидные соотношения (1 - x)^r = (1-x) . . . (1-x) = а₀ x⁰ + . . . + а_rx^r. Очевидно, что значение коэффициента а_i определяется количеством разных произведений, в которых из i скобок в произведение включается x, а из остальных r-i скобок в произведение входит 1. Поэтому а_i = . Следовательно,

(1 - x)^r = - x+... + (-1)ⁱ xⁱ +...+(-1)^r x^r.