ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний (5.9):

Это уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение равно суммеобщего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Предположим, что это частное решение имеет вид:

. (5.35)

Наша задача сводится теперь к нахождению параметров колебания (5.35), т.е. частоты, амплитуды и начальной фазы. С этой целью построим векторную диаграмму колебаний, входящих в (5.9), геометрически сложим их и найдем значения параметров, удовлетворяющих уравнению (5.9).

Найдем первую и вторую производные по времени от (5.35):

(5.36)

(5.37)

Подставим выражения из (5.35 5.37) в уравнение (5.9):

(5.38)

Для проведения сложения колебаний, входящих в (5.38), построим их векторную диаграмму. Примем, что колебание изображается горизонтальным вектором с модулем , направленным вправо (аналогично оси Ох). Тогда колебание, соответствующее скорости, с амплитудой изобразим вектором, направленным вверх, а колебание, соответствующее ускорению, с амплитудой - вектором, направленным влево.

Из диаграммы видно, что уравнение (5.38) выполняется, если (теорема Пифагора!)

. (5.39)

Отсюда находим, что амплитуда вынужденного колебания определяется соотношением:

. (5.40)

Начальная фаза частного решения (5.35) удовлетворяет условию:

. (5.41)

Это означает, что смещение при вынужденных колебаниях по фазе не совпадает с вынуждающей силой. Важно отметить, что на частоте собственных колебаний знаменатель в выражении (5.41) обращается в нуль. Это означает, что сдвиг фаз достигает значения (косинус в знаменателе обращается в нуль).

Таким образом, колебание, описываемое выражением (5.35) с амплитудой и начальной фазой , определяемыми (5.40) и (5.41) является частным решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний (5.40):

. (5.42)

Однако решением уравнения вынужденных колебаний (5.9) является сумма частного решения (5.42) и общего решения однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению.

Однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (5.9), является уравнение (5.8):

Решение уравнения (5.8) мы уже рассмотрели (5.28):

(5.28)

Но функция (5.28) быстро убывает с течением времени, поэтому соответствующее слагаемое в решении уравнения (5.9) существенно только в начале колебаний. В дальнейшем им можно пренебречь, и считать решением (5.9) выражение (5.42).

Поэтому можно утверждать, что вынужденные колебания происходят на частоте вынуждающей силы.