ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.
Рассмотрим решение уравнения (5.5). Следуя известной технологии решения линейных дифференциальных уравнений, предположим, что решение уравнения (5.5) имеет вид . Подставив в уравнение это решение, получим характеристическоеуравнение:
, (5.10)
два корня, которого равны
; . (5.11)
Тогда общее решение уравнения (5.5) имеет вид:
(5.12)
где и - комплексные константы, которые нам необходимо найти.
Воспользуемся тем, что функция, описывающая колебания реальной физической системы, должна быть вещественной, а значит, комплексно сопряженное выражение для смещения из положения равновесия должно совпадать с самим выражением: , т.е.
(5.13)
Для выполнения соотношения (5.13) необходимо, чтобы были равны коэффициенты слева и справа перед выражениями и :
. (5.14)
Представим комплексные числа в экспоненциальном виде (в показательной форме), а чтобы выполнялось условие (5.14) положим:
(5.15)
где и - произвольные константы.
Фактически мы заменяем произвольные константы на (также произволдьные) и . Однако это представление оказывается более удобным.
При этих значениях констант получаем (подставив (5.15) в (5.12):
.
Преобразуем это соотношение по формуле Эйлера: для любого вещественного
.
(5.16)
Таким образом,
(5.17)
Отметим, что произвольные константы и можно выбрать так, чтобы изменился по закону .
Таким образом, если система находится под действием только квазиупругой силы, то ее смещение из положения равновесия изменяется по закону
sin(ωt + α) или cos(ωt + α), т.е. система совершает гармонические колебания.
Вспомнимопределения:
§ - максимальное отклонение от положения равновесия называют амплитудой колебания,
§ величину - текущей фразой колебания,
§ - начальной фазой колебания,
§ - круговой (циклической) частотой,(рад/с),
§ - промежуток времени, через который движение системы повторяется, называют периодом колебания,
§ - частотой (Гц).
Рассмотрим как изменяются в процессе колебаний скорость и ускорение колеблющегося тела. Взяв от (5.17) производную по времени, получим уравнение, описывающее колебания скорости системы:
Очевидно, что колебания скорости происходят с амплитудой , а текущая фаза колебаний на больше, т.е. по фазе колебания скорости опережают колебания смещения на .
Производная по времени от скорости дает зависимость ускорения от времени:
. (5.18)
Очевидно, что изменение во времени ускорения на опережает скорость, а смещение из положение равновесия - на . Это означает, что смещение и ускорение при гармонических колебаниях изменяются в противофазе.
Каждое конкретное колебание, которое может совершать система, характеризуется определенными значениями амплитуды и фазы . Эти значения могут быть определены по начальным условиям, т.е. по значениям смещения и скорости системы в момент времени . Для примера представим две ситуации. В первой маятник отклоняют от положения равновесия и в момент начала отсчета времени отпускают. В этом случае колебания будут описываться уравнением вида . Если мысленно сместить начало отсчета времени на момент, когда маятник проходит положение равновесия, уравнение колебаний будет иметь вид .
Колебания, которые совершает система под действием только квазиупругой силы называются собственными колебаниями. Отличительной особенностью собственных колебаний являются их гармонический характер, который подразумевает абсолютное постоянство амплитуды, частоты и фазы колебаний, причем частота колебаний определяется соотношением (5.5).
Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 1073;