Вычисление ошибок косвенных измерений

Одним из эффективных методов установления взаимосвязей между факторами является корреляционно-регрессионный анализ.

Задача корреляционно-регрессионного метода заключается в нахождении эмпирического уравнения, характеризующего связь результативного параметра Y c определённым входным фактором Х.

В качестве формы связи Y и X широко используют линейную зависимость в силу её простоты в расчётах, а также в связи с тем, что к ней можно привести многие другие виды зависимости.

Расчёт линейной регрессионной модели включает следующие этапы:

1. Расчёт теоретического уравнения линейной регрессии;

2. Оценка силы связи, расчёт коэффициента корреляции;

3. Оценка значимости коэффициента корреляции;

4. Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии;

5. Определение адекватности уравнения регрессии и доверительных границ.

Линейная регрессия Y на X имеет вид:

где α и β — параметры регрессии (β называется коэффициентом регрессии).

Статистические оценки и параметров регрессии α и β выбираются таким образом, чтобы значения вычисленные по формуле были как можно ближе к эмпирическим значениям . В качестве меры близости выбирают сумму квадратов отклонений . Метод нахождения параметров с помощью минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений от теоретических значений в тех же точках называют методом наименьших квадратов.

Оптимальные значения параметров, полученные согласно этому методу, определяются формулами:

(15)

где и — средние значения X и Y, которые вычисляют по формулам:

(16)

Учитывая (15), запишем эмпирическую линию регрессии в виде:

(17)

Силу линейной корреляционной зависимости Y и X характеризует коэффициент корреляции r. Коэффициент r изменяется в пределах от до 1. Чем ближе он к , тем сильнее линейная связь Y и X, в предельном случае, если , имеет место точная линейная функциональная зависимость Y от X. Если , то Y и X не коррелируют. Оценкой коэффициента корреляции r служит выборочный коэффициент корреляции , который вычисляется по формуле:

(18)

Коэффициент корреляции определяемый по выборочным данным, может не совпадать с действительным значением, соответствующим генеральной совокупности. Для проверки статистической гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции используют t-критерий Стьюдента, наблюдаемое значение которого вычисляется по формуле:

(19)

Критическое значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости α находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента [1]. Если , то предположение о нулевом значении коэффициента корреляции не подтверждается, и выборочный коэффициент корреляции значим. Если , то величина r близка к нулю.

Для оценки параметров, входящих в уравнение регрессии (16) , при решении практических задач можно ограничиться построением доверительных интервалов. Для заданной надёжности γ доверительные интервалы для параметров и β определяются формулами:

(20)

(21)

где — критическое значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости , которое находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента [1], — квадратный корень из остаточной дисперсии , которая находится по формуле:

. (22)

После получения эмпирического уравнения регрессии, проверяют насколько оно соответствует результатам наблюдений. Для проверки гипотезы о значимости уравнения регрессии используют F-критерий Фишера, наблюдаемое значение которого вычисляют по формуле:

(23)

где — исправленная дисперсия Y, которая вычисляется по формуле:

(24)

Критическое значение F-критерия для числа степеней свободы и и уровня значимости α находят по таблицам критических точек распределения Фишера-Снедекора [1]. Если , то гипотеза о незначимости уравнения регрессии не подтверждается, и уравнение соответствует результатам наблюдений. Если , то полученное уравнение незначимо.

Ещё одной характеристикой меры того, насколько эмпирическое уравнение хорошо описывает данную систему наблюдений, является коэффициент детерминации d, который вычисляется по формуле:

(25)

Чем ближе коэффициент d к единице, тем лучше описание.

После того как модель построена, она используется для анализа и прогноза. Прогноз осуществляется подстановкой фактора в уравнение (17). Получается точечная оценка :

(26)

Доверительный интервал для прогнозируемого значения имеет вид:

(27)

где — критическое значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости , которое находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента [1].

Пример. Построение модели линейной регрессии

По данным наблюдений определить параметры линейного уравнения регрессии Y на X. Найти коэффициенты регрессии и корреляции проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции. Найти доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии. Определить коэффициент детерминации. Проверить гипотезу о значимости полученного уравнения регрессии. Найти прогнозируемое моделью значение y при x=x₀ и найти для него доверительный интервал. Уровень значимости принять равным 0,05.

Для получения параметров уравнения регрессии составим таблицу. Таблица 2

	0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7		0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
	9,6				1,66	83,8		0,0479

В последней строке таблицы приведены суммы столбцов, используемых в расчётах.

Найдём средние значения X и Y по формуле (16):

Вычислим коэффициент регрессии по формуле (15):

и получим эмпирическое уравнение регрессии, подставляя в (17):

(28)

По формуле (28) вычислим теоретические значения и заполним два последних столбца таблицы 2.

Вычислим коэффициент корреляции по формуле (18 ):

и проверим гипотезу о его значимости. Наблюдаемое значение критерия найдём по формуле (19):

По таблице критических точек распределения Стьюдента [1] найдём критическую точку распределения Стьюдента с числом степеней свободы и уровнем значимости Получим и сравним и : следовательно, коэффициент корреляции значим, и Y и X связаны линейной корреляционной зависимостью.

Для определения доверительных интервалов параметров уравнения линейной регрессии (28) найдём остаточную дисперсию по формуле (22):

Подставляя в формулу (20), получим доверительный интервал для Вычисляя, получим интервальную оценку для с надёжностью

Доверительный интервал для получим по формуле (21):

Итак, интервальная оценка для параметра с надёжностью

Проверим гипотезу о значимости полученного уравнения регрессии. Для вычисления наблюдаемого значения F-критерия найдём исправленную дисперсию Y по формуле (24): Подставляя в формулу (23), получим: По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора [1] для числа степеней свободы и на уровне значимости найдём Сравнивая наблюдаемое и критическое значения F-критерия, получим следовательно, уравнение значимо.

Для оценки адекватности линейной модели наблюдаемым значениям найдём также коэффициент детерминации по формуле (25):

Этот результат истолковывается так: 97,1% изменчивости Y объясняется изменением фактора X , а на остальные случайные факторы приходится 2,9% изменчивости. Однако, этот вывод действителен только для рассматриваемого интервала значений X.

Используем уравнение (28) для прогноза. При точечную оценку для y получим путём подстановки в формулу (28): Доверительный интервал для получим по формуле (27):

Окончательно, интервальная оценка для с надёжностью